Mengen und Relationen

Mengen

Eine Menge (nach Cantor) ist eine Zusammenfassung von Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.

$M = { x | (x in E) .AND. }P(......E { "Universum\lq\lq }, P(x){ Prädikat}$

Eine Menge heißt Teilmenge von (in Zeichen: $A \subseteq B$ ), wenn gilt:

Zwei Mengen sind gleich, wenn gilt:

Sei eine Indexmenge und $(A_i)_{i in I}$ eine Familie von Mengen. Dann ist

$\bigcup_{i in I} A_i := { x | exists i in I: x in A_i }$

die Vereinigung aller und

$\bigcap_{i in I} A_i := { x | forall i in I: x in A_i }$

der Durchschnitt aller .

Sind und zwei Mengen, so ist

$B \ A := { x in B | x \notin A }$

die Mengendifferenz der beiden Mengen und

$A \triangle B := (A \ B) \cup (B \ A) = (A \cup B) \ (A \cap B)$

die symmetrische Differenz der beiden Mengen.

Sei $A \subseteq E$ . Dann heißt

$A' := { x in E | x \notin A } = E \ A$

das Komplement von bezüglich .

Die Menge $P(A)}:= { C | C \subseteq A }$ nennt man Potenzmenge von .

Das kartesische Produkt einer Mengenfamilie $(A_i)_{i in I}$ ist definiert als das System aller Tupel $(a_i)_{i in I}$ mit der Eigenschaft, dass für alle gilt, d.h.:

$\prod_{i in I} A_i := { (a_i)_{i in I} | forall i in I: a_i in A_i }$