Mächtigkeit von Mengen

Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung f: A –> B gibt. Man schreibt dafür auch | A| = | B| und bezeichnet | A| als die Kardinalität von A.

Eine Menge A heißt endlich, wenn es ein n in N gibt, so dass gilt

| A| = |{ k in N| k < n }|

Man schreibt dann | A| = n.

Jede nicht endliche Menge heißt unendlich.

Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie gleichmächtig zu N ist.

Eine unendliche Menge, die nicht abzählbar ist, heißt überabzählbar.

Man kann nun auch untersuchen, wann eine Menge "größer" (bzw. "kleiner") ist als eine andere:
Existiert eine injektive Abbildung f: A –> B, so schreibt man | A| <= | B|, existiert eine surjektive Abbildung f: A –> B, so schreibt man | A| >= | B|.
Dabei gelten die folgenden Gesetze:

  1. | A| <= | B| .OR. }| B| <= | A|
  2. | A| = | B| <==> }| B| = | A|
  3. | A| = | B| .AND. }| B| = | C| ==> }| A| = | C|
  4. A \subseteq B ==> }| A| <= | B|
  5. | A| <= | B| .AND. }| B| <= | C| ==> }| A| <= | C|
  6. Satz von Schröder-Bernstein:

    | A| = | B| <==> }| A\ve......vert .AND. }| B| <= | A|

  7. |N| = |Z| = \......rtN× N| = \aleph_{0}
  8. |P(N)}| = |[0,1]|
  9. |P(A)}| > | A|

Haben zwei endliche Mengen A, B gleich viele Elemente (d.h. es gilt | A| = | B|), dann ist eine injektive (bzw. surjektive) Funktion f: A –> B auch surjektiv (bzw. injektiv) und damit bijektiv.

© Bernhard Kabelka 2000 – 2004
Letzte Änderung: 20. März 2004
 
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