Algebraische Grundlagen

Sei A eine nichtleere Menge. Dann ist eine binäre Operation \circ auf A eine Abbildung von A × A nach A. Ein Paar < A, \circ > nennt man dann Gruppoid.

Ein Gruppoid H wird Halbgruppe genannt, wenn gilt:

(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) forall ......(\textbf{\boldmath Assoziativgesetz}index{Assoziativgesetz})}

Eine Monoid M ist eine Halbgruppe, die ein neutrales Element e besitzt, d.h.:

exists e in M: forall a in M: a \circ e = e \circ a = a

Besitzt in einem Monoid G jedes Element a in G ein inverses Element, d.h.

forall a in G: exists a' in G: a \circ a' = a' \circ a = e

so nennt man G eine Gruppe.

Gilt zusätzlich das Kommutativgesetz, d.h.

forall a,b in G: a \circ b = b \circ a

so spricht man von einer kommutativen oder abelschen Gruppe.

Eine Teilmenge U von G heißt Untergruppe von G (in Zeichen: U <= G), wenn eine der folgenden (äquivalenten) Eigenschaften gilt:

  1. < U, \circ > Gruppe
  2. forall a,b in G: a \circ b in U .AND. }a' in U
  3. forall a,b in G: a \circ b' in U

Ist G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G, so nennt man a \circ U := { a \circ u | u in U } eine Linksnebenklasse von U in G und U \circ a := { u \circ a | u in U } eine Rechtsnebenklasse von U in G.

Es gilt:

  1. a in a \circ U
  2. b in a \circ U ==> }b \circ U = a \circ U
  3. (a \circ U) \cap (b \circ U) \neq Ø ==> }a \circ U = b \circ U
Die Menge der Rechts- bzw. Linksnebenklassen bildet eine Partition von G.

Ist < G, \circ > eine endliche Gruppe, so wird die Anzahl der Links- bzw. Rechtsnebenklassen als Index [G:U] von G nach U bezeichnet.

Ist H eine Teilmenge von G, so wird mit

[H]:= \bigcap { U <= G | H \subseteq U }

die von H erzeugte Untergruppe bezeichnet.

Man nennt eine Gruppe < G, \circ > zyklisch, wenn es ein Element a in G gibt, so dass gilt: [a] = G.

Jede Gruppe von Primzahlordnung (d.h. | G| in P) ist zyklisch, und jede zyklische Gruppe ist abelsch.

Eine Untergruppe N von G heißt Normalteiler von G (in Zeichen: N \unlhd G), wenn sie eine der folgenden (äquivalenten) Eigenschaften besitzt:

  1. Die Linksnebenklassen stimmen mit den Rechtsnebenklassen überein.
  2. forall a in G: a \circ U = U \circ a
  3. forall a in G: a \circ U \circ a^{-1} \subseteq U

Die Faktorgruppe einer Gruppe G nach einem Normalteiler U ist definiert als

G/U := { a \circ U = U \circ a | a in G }   {mit } U \unlhd G

Ein Gruppenhomomorphismus phi: G –> H liegt dann vor, wenn gilt:

forall a,b in G: phi(a \circ b) = phi(a) \circ phi(b)

Es gilt:

  1. ker phi\unlhd G                  ker phi:= { a in G | phi(a) = e_H }     (Kern von phi)
  2. im}phi<= H                  im}phi:= phi(G)     (Bild von phi)

Man nennt phi einen

Führt phi von G nach G, so nennt man phi einen

Man nennt zwei Gruppen G und H isomorph, wenn es einen Isomorphismus phi: G –> H gibt.

Ist phi ein Isomorphismus von G nach H, so gilt:

  1. phi(e_G) = e_H
  2. phi(a^{-1}) = phi(a)^{-1} forall a in G
  3. phi surjektiv <==> } im}phi= H
  4. phi injektiv <==> } ker phi= {e_G}

Eine algebraische Struktur < R, +, * > (mit zwei binären Operationen) heißt Ring, wenn gilt:

  1. < R, + > abelsche Gruppe
  2. < R, * > Halbgruppe
  3. \begin{array}{ll} (a+b) * c = a * c + b * c \\ a * (b+c) = a * b + a * c \end{array} forall a,b,c in R         (Distributivgesetze)

Bei einem Ring mit Einselement ist < R, * > ein Monoid, ein kommutativer Ring liegt dann vor, wenn < R, * > kommutativ ist, und von einem nullteilerfreien Ring spricht man, wenn gilt:

forall a,b in R: a \circ b = 0 ==> }a=0 .OR. }b=0

Liegen alle diese Eigenschaften vor, so spricht man von einem Integritätsbereich.

Bei einem Ring R mit Einselement ist die Einheitengruppe von R wie folgt definiert:

R^{*} := { b in R | exists c in R: c * b = b * c = 1 }

Von einem Körper spricht man, wenn gilt:

  1. < K, +, * > Integritätsbereich
  2. K^{*} = K \ {0}
Dazu ist äquivalent:
  1. < K, + > abelsche Gruppe
  2. < K \ {0}, * > abelsche Gruppe
  3. Es gelten die Distributivgesetze.

Ist < R, +, * > ein Integritätsbereich und | R| < infinity, so ist < R, +, * > ein Körper.

© Bernhard Kabelka 2000 – 2004
Letzte Änderung: 20. März 2004
 
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