Vektorräume

heißt Vektorraum über , wenn eine abelsche Gruppe und ein Körper ist, sowie eine Abbildung von definiert ist, die die folgenden Vektorraumaxiome für alle und erfüllt:

Es gelten folgende Gesetze für alle und alle :

$x * {a}= {0} \Ri......x=0 .OR. }{a}={0}$

Eine nichtleere Teilmenge eines Vektorraumes , die selbst wieder ein Vektorraum über demselben Körper (mit derselben Addition und Skalarmultiplikation) ist, nennt man Unterraum von (in Zeichen: ).

Es gibt folgende (äquivalente) Unterraumkriterien:

Ist eine Teilmenge von , so nennt man

$[T]:= \bigcap { ......nsuremath{T\subseteq U}$

den von erzeugten Unterraum.

Jede nichtleere Teilmenge von mit nennt man Erzeugendensystem.

Ist ${ U_i| i in I }$ ein System von Unterräumen von , so nennt man

$sum_{i in I} U_i:= [ \bigcup_{i in I} U_i]$

die Summe der Unterräume

.

Gilt zusätzlich für alle

$( sum_{i in I \ {j} {...... \cap U_j= {0}}$

so spricht man von einer direkten Summe.

Die Vektoren ${a}_1,{a}_2,...,{a}_nin V$ heißen linear unabhängig, wenn eine der folgenden (äquivalenten) Eigenschaften gilt:

$forall x_1,...,x_n in K: sum_{i=1}^{k......uremath{0} ==> }x_1 = ... = x_n = 0$
$forall i in {1,...,n}: forall y_j in K (j \neq i)......q sum_{j \neq i}y_j * {a}_j$
$forall i in {1,...,n}: {a}_i\notin L( { {a}_j| j \neq i } )$

Eine Teilmenge von heißt Basis des Vektorraumes , wenn eine der folgenden (äquivalenten) Eigenschaften erfüllt ist:

ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von .
ist ein minimales Erzeugendensystem.
Jeder Vektor aus besitzt eine eindeutige Darstellung als Linearkombination von Vektoren aus .

Das Austauschlemma von Steinitz besagt, dass, wenn $B= {b}_1,...,{b}_n}$ eine Basis von ist, und dargestellt werden kann als ${a}= sum_{j=1}^nx_j * {b}_j$ ( $x_i \neq 0$ ), auch $(B\ {b}_i}) \cup {a}}$ eine Basis ist.

Auf diesem Lemma beruht der Austauschsatz von Steinitz, der lautet: Sei eine endliche Basis von , eine linear unabhängige Teilmenge von . Dann ist endlich und es existiert eine Teilmenge von , die zu gleichmächtig ist, und für die gilt: $B' = (B\ T) \cup A$ ist Basis von .

Die Dimension eines Vektorraumes ist definiert als die Mächtigkeit einer seiner Basen . Diese Definition ist sinnvoll, da je zwei Basen eines Vektorraumes gleichmächtig sind.

Es gilt:

$dim (U_1+ U_2) = dim \ensurem......hbfU_2- dim (U_1\cap U_2)$ (Dimensionsformel)