Lineare Abbildungen

Eine Abbildung f:V–>W zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper K heißt linear, wenn sie die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt:

  1. forall {a},{b}in ......{b}) = f({a}) + f({b})
  2. forall {a}in V, \fora......d f(x * {a}) = x * f({a})
Die Menge aller linearer Abbildungen f:V–>W wird mit L(V,W)} bezeichnet.

Ist f in L(V,W)}, so gilt:

  1. U<= V ==> }f(U) <= W
  2. T<= W ==> }f^{-1}(T) <= V
  3. M\subseteq V ==> }[f(M)] = f([M])
  4. f bijektiv ==> } f^{-1} in L(W,V)

Zwei Vektorräume V und W über demselben Körper K heißen isomorph (in Zeichen: V\cong W), wenn es eine bijektive lineare Abbildung f:V–>W gibt. So eine lineare Abbildung heißt auch Vektorraumisomorphismus.

Seien V und W zwei Vektorräume über demselben Körper K und B eine Basis von V. Dann gilt:

Ist dim V= dim W< infinity, so gilt: f injektiv <==> } f surjektiv.

Der Rang einer linearen Abbildung ist definiert als

rg}f := dim im(f) = dim f(V)

Der Defekt einer linearen Abbildung ist definiert als

def f := dim ker(f) = dim f^{-1}({0}})

Es gilt folgende Rangformel:

rg}f + def f = dim V

© Bernhard Kabelka 2000 – 2004
Letzte Änderung: 20. März 2004
 
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