Bernhard Kabelka - Lineare Algebra und analytische Geometrie I: "Lineare Abbildungen

Matrizen

Unter einer -Matrix mit Koeffizienten aus einem Körper versteht man ein -Tupel $(a_{ij})_{1 <= i <= m, 1 <= j <= n}$ mit $a_{ij} in K, 1 <= i <= m, 1 <= j <= n$ . Man stellt eine Matrix durch ein rechteckiges Schema aus Zeilen und Spalten dar:

$A = (\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & *s &......ots\\a_{m1} & a_{m2} & *s & a_{mn}\end{array} )$

Die Menge aller

-Matrizen mit Eintragungen aus

wird mit $K^{m × n}$ bezeichnet.

Ein Matrix heißt quadratisch, wenn sie gleich viele Zeilen wie Spalten besitzt.

Quadratische Matrizen $E_n in K^{n × n}$ der Form

$E_n = (\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & *s & ......ddots & \vdots\\0 & 0 & 0 & *s & 1\end{array} )$

heißen Einheitsmatrizen.

Für $A = (a_{ij})_{1 <= i <= m, 1 <= j <= n} in K^{m × n}$ heißt die Matrix

$A^T := (a_{ji}')_{1 <= j <= n, 1 <= i <= m} in K^{n × m} {mit } a_{ji}' = a_{ij}$

die transponierte Matrix.

Eine quadratische Matrix $A in K^{n × n}$ heißt symmetrisch, wenn gilt: .

Eine quadratische Matrix $A in K^{n × n}$ heißt regulär, wenn es eine Matrix $A' in K^{n × n}$ gibt mit .

Der Rang einer Matrix $A in K^{m × n}$ ist die maximale Anzahl von linear unabhängigen Spalten (bzw. Zeilen) von .

Transformationsmatrizen der Gestalt

$({e}_1 *s {e}_{j-1} ......athbf{e}_{j+1} *s {e}_n) in K^{n × n}$
$({e}_1 *s {e}_{j-1} ......athbf{e}_{j+1} *s {e}_n) in K^{n × n}$
$({e}_1 *s {e}_{i-1} ......athbf{e}_{j+1} *s {e}_n) in K^{n × n}$

heißen auch Elementarmatrizen.

Es gilt:

regulär invertierbar ist Produkt von Elementarmatrizen
mit , regulär