Determinanten

Sei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper . Dann heißt eine Abbildung Determinantenform, wenn sie folgende drei Eigenschaften besitzt:

ist multilinear.
Sind von den Vektoren ${a}_1,...,{a}_n$ zwei gleich, so gilt: $Delta({a}_1,...,{a}_n) = 0$ .
Es gibt eine Basis $B= {b}_1,...,{b}_n}$ von mit $Delta({b}_1,...,{b}_n) \neq 0$ .

Die Determinante einer Matrix $A = (a_{ij})_{1 <= i,j <= n} in K^{n × n}$ ist definiert als

$det A := sum_{pi in S_n {sgn}(pi) a_{pi(1)1} a_{pi(2)2} *s a_{pi(n)n}$

Die Determinante einer Matrix $A = ({a}_1 *s {a}_n)$ hat folgende Eigenschaften:

$det A \neq 0$ regulär
$det A^{-1} = (det A)^{-1}$
$det (\begin{array}{ccc} a_{11} & * & * \\ 0 & \ddots & * \\ 0 & 0 & a_{nn} \end{array} )= a_{11} * ... * a_{nn}$
$det ({a}_1 *s {a}_{j-......{a}_{j+1} *s {a}_n) = x * det A$
$det ({a}_1 *s {a}_{i-......uremath{a}_{i+1} *s {a}_n) = det A$ (falls $i \neq j$ )
$det ({a}_1 *s {a}_{i-......remath{a}_{j+1} *s {a}_n) = -det A$

Eigenschaften (6) bis (8) gelten analog auch für Zeilen.

Der Kofaktor $A_{ij}$ einer Matrix $A = (a_{ij})_{1 <= i,j <= n} in K^{n × n}$ ist definiert als die Determinante jener Matrix, die aus durch das Ersetzen der -ten Spalte durch den Vektor ${e}_i$ der kanonischen Basis hervorgeht.

Es gilt auch:

$A_{ij} = (-1)^{i+j} * D_{ij}$

wobei $D_{ij}$ die Determinante jener Matrix ist, die aus

durch Streichen der

-ten Zeile und der

-ten Spalte hervorgeht.

Mit diesen Bezeichnungen erhält man den Laplace'sche Entwicklungssatz:

$det A & = & sum_{i=1}^n a_{ij} * A_{ij} = \...... = sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} * a_{ij} * D_{ij}$

Die zu $A in K^{n × n}$ inverse Matrix berechnet man durch

$A^{-1} = \frac1{det A} * (\hatA)^T, {wobei } \hatA := (A_{ij})_{1 <= i,j <= n}$

Die Menge aller regulären -Matrizen über einem Körper wird üblicherweise mit (general linear group), die Teilmenge jener Matrizen aus mit mit (special linear group) bezeichnet.