Lineare Geometrie

Affine Geometrie

Sei ein Vektorraum über einem Körper . Eine Teilmenge $N\subseteq V$ heißt Nebenraum in , wenn es einen Unterraum von und einen Vektor gibt mit

$N= {a}+ \en......ert {c}in U}$

Der affine Raum von ist dann definiert als

Es gilt:

${a}+ U= {b}_......remath{b}- {a}in U$
${a}+ U\subseteq \ma...... ==> U<= W$
${a}+ U= {b}_......th ==> U= W$
$({a}+ U) \cap (\mat......remath{b}in U+ W$

Für die Dimensionen zweier Nebenräume gilt:

$dim (N_1.OR. N_2) + dim (\ens......fN_2) = dim N_1+ dim N_2$ (falls $N_1\cap N_2\neq Ø$ )
$dim (N_1.OR. N_2) + dim (\ens......}_2) = dim N_1+ dim N_2+ 1$ (falls $N_1\cap N_2= Ø$ )

Zwei Nebenräume $N_1={a}_1+U_1$ und $N_2={a}_2+U_2$ heißen parallel (in Zeichen: $N_1\Vert N_2$ ), wenn $U_1\subseteq U_2$ oder $U_2\subseteq U_1$ . Dazu ist äquivalent:

$N_1\subseteq N_2 .OR. }N_2\subseteq N_1$ (falls $N_1\cap N_2\neq Ø$ )
$dim (N_1.OR. N_2) = \max (dim N_1, dim N_2) + 1$ (falls $N_1\cap N_2= Ø$ )

Eine Linearkombination $sum_{i=1}^nx_i{a}_i$ von Vektoren ${a}_i,...,{a}_n$ eines Vektorraumes heißt affine Linearkombination, wenn gilt: $sum_{i=1}^nx_i = 1$

Ist eine Teilmenge eines Vektorraumes dann ist die affine Hülle von definiert als die Menge der affinen Linearkombinationen von Vektoren aus . Es gilt:

$H(T) = \bigcap { \......nsuremath{T\subseteq N}$

Eine Teilmenge von heißt

affin unabhängig, wenn gilt: $t \notin H(T \ {t}) forall t in T$
affines Erzeugendensystem, wenn gilt:

Ist eine Teilmenge von und ${t}_{0}in T$ , so gilt:

affin unabhängig ${ {t}- {t}_{0}\Bigm| \ensu......n T\ {t}_{0}} }$ l.u.
$H(T)=N <==> }\l......sh {t}_{0}} }] = U$
affine Basis ${ {t}- {t}_{0}\Bigm| \ensu......n T\ {t}_{0}} }$ Basis von

Sei ein Vektorraum und . Dann heißt die Abbildung

$tau_{{t}: && {V......{}\mapsto {a}+ {t}$

Verschiebung.

Seien ein Vektorraum über dem Körper , ein Vektorraum über dem Körper und ein Körperisomorphismus von nach . Eine Abbildung heißt dann semilinear, wenn für alle und alle gilt: