Bernhard Kabelka - Lineare Algebra und analytische Geometrie II: "Lineare Selbstabbildungen

Eigenwerte und Eigenvektoren

Ein Skalar heißt Eigenwert von , wenn gilt:

$exists {a}in \mathb......ensuremath{a}) = t * {a}$

Ein solcher Vektor

heißt Eigenvektor von

, und es gilt:

${a}in ker(f - t * ......qquad {(\textbf{\boldmath Eigenraum}index{Eigenraum})}$

Das charakteristische Polynom ist erklärt durch . Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind genau die Eigenwerte der Matrix .

Eine Matrix $A in K^{n × m}$ heißt ähnlich zur Matrix $B in K^{n × m}$ , wenn gilt:

$exists P in GL(n,K): B = P^{-1} * A * P$

Da ein bezüglich verschiedener Basen durch ähnliche Matrizen beschrieben wird, ist folgende Definition sinnvoll:

$chi_{f}(X)}:= chi_{\Phi_{BB}(f)}(......thbfB...... Basis von V)}$

Man bezeichnet schließlich die Vielfachheit von als Nullstelle im charakteristischen Polynom als algebraische Vielfachheit und die Dimension des Eigenraumes als geometrische Vielfachheit. Die geometrische Vielfachheit ist immer kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit (auch echt kleiner möglich!).