Jordan-Normalformen

Besitzt eine Basis aus Eigenvektoren von , so heißt einfach strukturiert. Das ist genau dann der Fall, wenn $\Phi_{BB}(f)$ ähnlich einer Diagonalmatrix, d.h. diagonalisierbar, ist.

Zerfällt das charakteristische Polynom von in Linearfaktoren, so kann triangularisiert werden, d.h. ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix. Sind zusätzlich die Nullstellen verschieden, so kann sogar diagonalisiert werden.

Man definiert: heißt Annullatorpolynom von , wenn gilt: . Das Minimalpolynom $µ_{f}(X)$ ist jenes normierte Annullatorpolynom, das den kleinsten Grad besitzt. Die Annullatorpolynome sind dann genau die Vielfachen von $µ_{f}(X)$ .

Der Satz von Cayley-Hamilton besagt, dass das charakteristische Polynom $chi_{f}(X)}$ ein Annullatorpolynom ist. Damit ist das Minimalpolynom $µ_{f}(X)$ ein Teiler des charakteristischen Polynoms $chi_{f}(X)}$ .

Ein Unterraum heißt -invariant, wenn gilt: $f(U) \subseteq U$ .

Man definiert: heißt Hauptvektor von zum Eigenwert , wenn es ein gibt mit ${d}in ker(f - t * {id}_{V)^i$ . Das kleinste mit dieser Eigenschaft heißt Stufe von . Die Menge aller Hauptvektoren von zum Eigenwert heißt Hauptraum $V_{f}(t) = \bigcup_{i in N ker(f - t * {id}_{V)^i$ .

Ist eine Menge von verschiedenen Hauptvektoren ${d}_j$ mit Stufe und die "zugehörigen" Eigenvektoren $ker(f - t * {id}_{V)^{m_j-1}({d}_j)$ , die alle voneinander verschieden sind und eine linear unabhängige Menge bilden, gegeben, so sind auch alle Hauptvektoren "dazwischen" voneinander verschieden und linear unabhängig.

Man definiert ein Jordan-Kästchen als

$J_m(t) := (\begin{array}{cccc}t & 1 & *s & 0......dots && \ddots & 1\\0 & *s & 0 & t\end{array} )$

Sei mit $chi_{f}(X)}= (-1)^n * (X-t)^n$ . Dann gibt es eine geordnete Basis , so dass gilt:

$\Phi_{BB(f......nsuremath{diag} }(J_{m_j(t), ..., J_{m_j(t))$

wobei die Gesamtanzahl der Jordan-Kästchen genau der geometrischen Vielfachheit von

entspricht.

Sei mit $chi_{f}(X)}= (-1)^n * (X-t_1)^{n_1 * ... * (X-t_{r})^{n_{r}$ . Dann gilt:

$V= V_{f}(t_1......h{diag} }(J_{m_j(t_i), ..., J_{m_j(t_i))$

Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Jordan-Kästchen eindeutig und wird Jordan-Normalform genannt.

Zwei Abbildungen und ( ) heißen konjugiert, wenn es ein gibt mit: $f_2 = g^{-1} \circ f_1 \circ g$ . Das ist genau dann der Fall, wenn $A_{f_1$ und $A_{f_2$ ähnlich zu derselben Matrix in Jordan-Normalform sind.

Man kann die komplexe Erweiterung eines Vektorraumes (über ) wie folgt definieren:

$V_C:= \ensur...... {b}+ y * {a})$

Die Eigenschaft einer Teilmenge $M \subseteq V$ linear (un)abhängig oder Erzeugendensystem von

zu sein, bleibt auch in

erhalten.

Ein lässt sich dann eindeutig zu einem bzw. zu einem semilinearen $\overline{f_C$ erweitern:

$f_C({a}+ i ......suremath{a}) - i * f({b})$

Schließlich definiert man noch den Begriff des reellen Unterraums: ist genau dann reeller Unterraum, wenn gilt: $exists U\subseteq V: T= U_C$ . Dazu ist äquivalent: $T= \overline{T$ .