Sesquilinearformen

Eine Abbildung heißt -Sesquilinearform ( ), wenn gilt:

$sigma({a}+{b},\mathb......emath{a},{b},{c}in V$
$sigma({a},{b}+\mathb......emath{a},{b},{c}in V$

Bei $zeta = {id}_K$ spricht man auch von einer Bilinearform.

Es gilt:

-Sesquilinearform

-semilineare Abbildung $d: V–> V^{*}$

$\Updownarrow$

$d_{sigma}:$	$V–> V^{*}$
	${b}\mapsto sigma(.,{b})$

$sigma_{d}:$
	$({a},{b}) \mapsto < d({b}),{a}>$

Eine Sesquilinearform heißt nicht ausgeartet, wenn gilt:

${a}in V: sigma(\ensurem......remath ==> {a}={0}$
${b}in V: sigma(\ensurem......remath ==> {b}={0}$

Die Unterräume $\bigcap_{y}in V ker d_{sigma}({y})$ und $ker d_{sigma}$ heißen Ausartungsräume.

Man nennt zwei Sesquilinearformen und kongruent, wenn es ein gibt mit $sigma_2= sigma_1\circ (f,f)$ .

Bei endlicher Dimension von gibt es auch eine Koordinatendarstellung von . Die Koordinatenmatrix hat dann die Form

$\Phi_{B(sigma) = (g_{ij}) in K^{n × n} {mit} g_{ij} = sigma(b_i,b_j)$

Es gilt: $\Phi_{B(sigma) = \Phi_{BB^{*}(d_{sigma})$ .

Bei einem Basiswechsel geht $\Phi_{B(sigma)$ in eine -kongruente Matrix $\Phi_{\widetilde{B(sigma)$ über:

$\Phi_{\widetilde{B(sigma) = P^T * \Phi_{B(sigma) * zeta(P)$

Man nennt zwei Vektoren , orthogonal bezüglich (in Zeichen: ${a}\perp_{sigma} {b}$ ), wenn gilt: .
Ist $\perp_{sigma}$ eine symmetrische Relation, so ist orthosymmetrisch.

Man erklärt die adjungierte Sesquilinearform zu als:

$\hat{sigma}: && V× ......}(sigma({b},{a}))$

Ab sofort stehe abkürzend für einen Körperautomorphismus mit $omega^2 = {id}_K$ .

Eine Sesquilinearform mit $sigma({a},{b}) = omega(sigma(\......uremath{a},{b}in V$ wird -symmetrisch genannt, und ihre Koordinatenmatrix ist eine -symmetrische Matrix (d.h. sie erfüllt ).

Eine Sesquilinearform mit (und damit ) heißt alternierend, Ihre Koordinatenmatrix ist eine alternierende Matrix (d.h. sie erfüllt ). Jede alternierende Sesquilinearform ist eine Bilinearform.

Eine Sesquilinearform mit wird -schiefsymmetrisch genannt, und ihre Koordinatenmatrix ist eine -schiefsymmetrische Matrix (d.h. sie erfüllt ).