Quadriken

Die Abbildung $\perp: P({U)}–> \ensure......remathP({U)}^{\perp}$ heißt polare Abbildung, wenn nicht ausgeartet ist auch Polarität.

Die Funktion

$lambda: && A –> K\\&& {a}_{......{a}-{t}> + g$

heißt quadratische Funktion, wenn

eine quadratische Form, $l^{*} in X^{*}$ und

ist.

Zu jeder quadratischen Funktion existiert genau eine quadratische Form mit :

$q(x,{a}) = q_{lambda}(\......mathbf{a}-{t}> + g \cot x^2$

Eine quadratische Funktion besitzt (bezüglich eines passenden affinen Koordinatensystems) immer eine der folgenden Koordinatendarstellungen:

(A0)	$(x_1 s x_n)^T \mapsto g_1 x_1^2 + ... + g_{r} * x_{r}^2$ ()
(A1)	$(x_1 s x_n)^T \mapsto g_1 x_1^2 + ... + g_{r} * x_{r}^2 + g$ ()
(B)	$(x_1 s x_n)^T \mapsto g_1 x_1^2 + ... + g_{r} * x_{r}^2 - 2 * x_n$ ()

Die Punktmenge $Q_{a\!f\!\!f}:= { {a}in A | lambda({a}) = 0 }$ heißt affine Quadrik.

Die Menge $Q:= { K * {a}in \ensurem......bf{V)}| q({a}) = 0 }$ heißt dann projektive Quadrik.

Eine Gerade von heißt Tangente einer projektiven Quadrik, wenn sie mit genau einen Punkt gemeinsam hat oder ganz in enthalten ist.
Eine Gerade ist genau dann Tangente an in , wenn sie im Unterraum $T_{p} Q:= P^{\perp}$ liegt.

Für jede Gerade von gilt: $\sharp (g \cap Q) <= 2$ oder $g \subseteq Q$ .

Ein Punkt heißt singulär, wenn jede Gerade durch Tangente an ist, sonst regulär.
Die Menge aller singulären Punkte heißt Spitzenraum und ist genau das Radikal der zu gehörigen symmetrischen Bilinearform.

Für einen regulären Punkt heißt $T_{p} Q$ die Tangentialhyperebene.

Besitzt eine Quadrik zumindest einen singulären Punkt, so wird sie singulär genannt, andernfalls ist sie regulär.

Eine projektive Quadrik, die zumindest einen regulären Punkt besitzt, spannt den gesamten Raum auf.

Eine Asymptote von $Q_{a\!f\!\!f}$ liegt dann vor, wenn die projektive Entsprechung Tangente an ist, aber gilt: $g_{a\!f\!\!f} \cap Q_{a\!f\!\!f}= Ø$ (analog für eine asymptotische Hyperebene).

Eine singuläre affine Quadrik heißt Zylinder, falls der Spitzenraum in der Fernhyperebene liegt.
Eine affine Quadrik heißt parabolisch, wenn die Fernhyperebene Tangentialhyperebene von ist.

Für die drei Typen von Quadriken gilt:

: (A0) ist Kegel, nicht parabolisch
: (A1) ist Zylinder oder regulär, nicht parabolisch
: (B) ist Zylinder oder regulär, parabolisch

Es gibt eine Projektivspiegelung mit Zentrum und der Eigenschaft . Diese ist eindeutig bestimmt, wenn zumindest eine regulären Punkt besitzt:

$kappa:=P(f) {mit} f: && \ensur......{},{p})} * {p}$

Ein Punkt $min A \ Q_{a\!f\!\!f}$ heißt Mittelpunkt und $Q_{a\!f\!\!f}$ eine Mittelpunktsquadrik, wenn ${m^{\perp}$ die Fernhyperebene ist.
$D_{a\!f\!\!f}$ heißt Durchmesserhyperebene, wenn es einen Fernpunkt gibt mit $P^{\perp}= D$ .