Vektorräume mit Skalarprodukt

Sei eine nicht ausgeartete, -symmetrische oder alternierende Sesquilinearform. Dann heißt ein Skalarprodukt. Ist -symmetrisch, so nennt man einen -symmetrischen Vektorraum. Ist alternierend, so liegt ein symplektischer Vektorraum vor.

Man nennt ${a} \begin{picture}(2,2) \put(1,1){\makebox(0,0){\circle*1\end{picture} {a}in K$ das Längenquadrat des Vektors . Ist ${a} \begin{picture}(2,2) \put(1,1){\makebox(0,0){\circle*1\end{picture} {a}= 1$ , so nennt man normiert; ist ${a} \begin{picture}(2,2) \put(1,1){\makebox(0,0){\circle*1\end{picture} {a}= 0$ ( ), so nennt man isotrop. In einem anisotropen Unterraum $U\subseteq V$ gibt es keine isotropen Vektoren.

Ein symmetrischer Vektorraum über bzw. heißt pseudoeuklidisch. Einen reellen Vektorraum mit einem positiv definiten symmetrischen Skalarprodukt nennt man euklidisch, einen komplexen Vektorraum mit einem positiv definiten hermiteschen Skalarprodukt unitär. Ein euklidischer oder unitärer Vektorraum wird auch Prähilbertraum genannt.

In einem euklidischen oder unitären Vektorraum kann man die Länge definieren als

$\Vert{a}\Vert}:= \sqrt{\......\circle*1\end{picture} {a} >= 0$

Ebendort gilt die Cauchy-Schwarz-Buniakowski-Ungleichung:

$| {a} \begin{picture}(2,2) \put......h{a},{b}} {l.a.}$

Weiters gilt

und

$\Vert{a}+\math......{\boldmath Streckungseigenschaft}index{Streckungseigenschaft})}$

Aufgrund der Cauchy-Schwarz-Buniakowski-Ungleichung gilt

$-1 <= \frac{a} \begin{picture}(2,......* \Vert{b}\Vert} <= 1$

und man kann daher das Winkelmaß zweier Vektoren wie folgt definieren:

$\angle({a},{b}......\Vert}* \Vert{b}\Vert}$

Wird mit Hilfe einer Determinantenform $\triangle$ orientiert, so ist das orientierte Winkelmaß

$\vec{\angle}({a},......suremath{b}) & {sonst}\end{array} .$

Schließlich führt man für eine Abbildung $\Vert.\Vert}: V–> R$ mit

${a}in V: \Vert\......remath ==> {a}={0}$
$\Vert{a}+{b}\Vert}<=......uremath{a},{b}in V$
$\Vert x*{a}\Vert}= | x| * \e......nsuremath{b}in V, forall x in K$

den Begriff Norm ein. Die Längenfunktion ist eine solche Norm.

Ein Unterraum $U\subseteq V$ heißt isotrop, falls $U\cap {U^{\perp}<> Ø$ , und vollisotrop, falls $U\subseteq {U^{\perp}$ . Für einen vollisotropen Unterraum gilt: $dim U<= [ \fracn2 ]$ .
Wenn gilt $V= U\oplus {U^{\perp}$ , so nennt man ${U^{\perp}$ das orthogonale Komplement von .

Ein Vektor heißt Gradient der Linearform ${a}^{*} in V^{*}$ , falls gilt:

${x} \begin{picture}(2,2) \put(1,1){......all {x}in V$

Ein Gradient existiert genau dann, wenn ${a}^{*} in d_{iota(V)$ .

Eine Basis $C=({c}_j| j in I)$ ist die zu $B= ({b}_j| j in I)$ reziproke Basis, wenn gilt: ${b}_i \begin{picture}(2,2) \put(1,1){\makebox(0,0){\circ......d{picture} {c}_j= delta_{ij} forall i,j in I$ .
Es existiert höchstens eine solche Basis, und zwar genau dann, wenn $({b}_j^{*})_{j in I}$ nummerierte Basis von $d_{iota(V) \subseteq V^{*}$ ist. Man bezeichnet sie üblicherweise mit $\widehat{B = (\widehat{b}_j)_{j in I}$ .
Es ist dann $\widehat{b}_j$ ein Gradientenvektor von ${b}_j^{*}$ .

Die Koordinaten von bezüglich bezeichnet man auch als kontravariante Koordinaten bezüglich , die Koordinaten bezüglich $\widehat{B$ als kovariante Koordinaten bezüglich .

Hat ${a}in V\ {0}}$ die Koordinaten $\Phi_{\widehat{B({a}) = ......{array}{ccc} \widehat{a}_1 & *s & \widehat{a}_n \end{array} )^T$ , so ist die Gleichung von ${a}^{\perp}$ (bezüglich !):

$x_1 * omega}(\widehat{a}_1) + ... + x_n * omega}(\widehat{a}_n) = 0$

In einem -symmetrischen Vektorraum bezeichnet man eine Teilmenge $S\subseteq V$ als

Orthogonalsystem, wenn gilt:

${s} \begin{picture}(2,2) \put(1,1){......}<> {y}in S$
Orthonormalsystem, wenn gilt:

$S{ ist Orthogonalsystem} \q......ll {s}in S$

Eine Basis nennt man dann auch

Orthogonalbasis, wenn sie ein Orthogonalsystem ist.
Orthonormalbasis, wenn sie ein Orthonormalsystem ist.

Jedes Orthogonalsystem von ist linear unabhängig.

In einem -symmetrischen anisotropen Vektorraum mit einer höchstens abzählbaren Basis kann jedes endliche Orthogonalsystem zu einer Orthogonalbasis erweitert werden.

In einem ebensolchen Vektorraum liefert das Orthogonalisierungsverfahren von E. Schmidt aus einer Basis $B=({b}_i)_{i in I}$ eine Orthogonalbasis $({a}_i)_{i in I}$ mit $[{b}_1, ..., {b}_k]=[\ensurema......mathbf{a}_1, ..., {a}_k] forall k in I$ durch die Festsetzung

${a}_1& := & {b}_1......} {a}_j * {a}_j$