Bernhard Kabelka - Lineare Algebra und analytische Geometrie II: "Adjungierte Abbildungen

Isometrische Abbildungen

Eine Abbildung heißt isometrisch, wenn gilt:

${a} \begin{picture}(2,2) \put(1,1){......a},{b}in V$

Jede Isometrie ist injektiv.

Eine Abbildung ist genau dann isometrisch, wenn gilt:

${b}_i \begin{picture}(2,2) \put(1,1)......_i,{b}_jin B$

Wenn

eine Orthonormalbasis von

in eine Orthonormalbasis von

überführt, dann ist

isometrisch.

Eine Bijektion ist genau dann isometrisch, wenn gilt: $f^{-1} = \widehat{f}$ .

Haben zwei -symmetrische Vektorräume $(V,iota_{V)$ und $(W,iota_{W)$ gleichmächtige Orthonormalbasen, so sind sie isometrisch-isomorph, d.h. es existiert ein isometrisches .

Die Gesamtheit aller isometrischen Bijektionen wird isometrische Gruppe, im Spezialfall eines symmetrischen bzw. unitären Vektorraumes auch orthogonale bzw. unitäre Gruppe, genannt.

Eine Matrix $A in K^{n × n}$ wird -orthogonal genannt, wenn gilt: $A^{-1} = omega(A^T)$ .

Bezüglich einer Orthonormalbasis wird jede isometrische Abbildung durch eine -orthogonale Koordinatenmatrix beschrieben.

Zwei lineare Abbildungen heißen isometrisch-konjugiert, wenn es ein isometrisches gibt mit: $f_2 = g \circ f_1 \circ g^{-1}$ .

Analog werden -orthogonal-ähnliche Matrizen $A,B in K^{n × n}$ erklärt:

$exists P in K^{n × n} {(omega}-orthogonal)}: B = P * A * P^{-1}$