Bernhard Kabelka - Analysis I: "Die reellen Zahlen

Konvergente Folgen

Eine Folge in ist eine Funktion von in , meist geschrieben als $(x_n)_{n in N$ .

Eine Folge $(x_n)_{n in N$ in heißt konvergent in gegen , wenn gilt:

$forall eps>0}: \exi......ath{eps forall n>N(eps)}$

Man schreibt dann: $\lim_{n–>infinity}x_n = c$ , oder auch:

für

Eine Folge $(x_n)_{n in N$ heißt Nullfolge, wenn gilt: $\lim_{n–>infinity}x_n = 0$ .

Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Für die Konvergenz von Folgen gelten folgende Rechenregeln:

$.\begin{array}lx_n –> c\\y_n –> d\\\end{array} } \e......pm y_n –> c \pm d\\x_n * y_n –> c * d\\\end{array}.$
$x_n –> 0 .AND. }c \neq 0 ==> }\frac1{x_n–> \frac1{c}$
beschränkt

Eine Folge $(x_n)_{n in N$ heißt Cauchyfolge in , wenn gilt:

$forall eps>0}: \exi......lon forall n, m > N(eps)$

Es gilt:

Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.
Jede Cauchyfolge ist beschränkt.
In einem maximalen archimedisch angeordneter Körper ist jede Cauchyfolge konvergent.

Sei $(x_n)_{n in N$ eine Folge reeller Zahlen und definiert durch

$s_n = x_{0} + x_1 + ... + x_n$

Dann heißt die Folge $(s_n)_{n in N$ (unendliche) Reihe mit Summanden $(x_n)_{n in N$ .

heißt n-te Partialsumme. $(s_n)_{n in N=: sum_{n=0}^{infinity}x_n$ heißt dann konvergent mit Summe , wenn gilt:

$\lim_{n–>infinity}s_n = s = sum_{n=0}^{infinity} x_n$

Sei $(c_n)_{n in N}$ eine monoton fallende Nullfolge positiver reeller Zahlen. Dann gilt nach dem Kriterium von Leibniz für alternierende Reihen:

$sum_{n=0}^{infinity} (-1)^n * c_n {ist konvergent.}$

Im Folgenden wird oft abkürzend anstelle von $sum_{n=0}^{infinity}x_n$ verwendet.