Bernhard Kabelka - Analysis I: "Funktionen - Hyperbel- und Areafunktionen"

Hyperbel- und Areafunktionen

Die Hyperbelfunktionen Sinus hyperbolicus ( $\sinh x$ ) und Cosinus hyperbolicus ( $\cosh x$ ) sind wie folgt definiert:

$\cosh & := & \frac{e^{x}+e^{-x}2\\ [.5ex]\sinh & := & \frac{e^{x}-e^{-x}2$

Es gilt:

$\cosh & = & sum_{n=0}^{infinity} \frac{x^{2n}{(2n)!} = \......)!} = x + \frac{x^3{3!} + \frac{x^{5}{5!} + ...$

Auch für die Hyperbelfunktionen gibt es ähnliche Sätze und Additionstheoreme wie für die trigonometrischen Funktionen:

$\cosh (-x) = \cosh x$ , d.h. $\cosh$ ist gerade

$\sinh (-x) = - \sinh x$ , d.h. $\sinh$ ist ungerade
$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
$\sinh (x \pm y) = \sinh x * \cosh y \pm \cosh x * \sinh y$

$\cosh (x \pm y) = \cosh x * \cosh y \pm \sinh x * \sinh y$
$\sinh x \pm \sinh y = 2 * \sinh \frac{x \pm y}2 * \cosh \frac{x \mp y}2$

$\cosh x + \cosh y = 2 * \cosh \frac{x + y}2 * \cosh \frac{x - y}2$

$\cosh x - \cosh y = 2 * \sinh \frac{x + y}2 * \sinh \frac{x - y}2$

Der Tangens hyperbolicus und der Cotangens hyperbolicus sind analog zu den trigonometrischen Funktionen definiert:

$\tanh x & := & \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^{x......{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^{x}+e^{-x}{e^{x}-e^{-x}$

Die Areafunktionen sind die Umkehrabbildungen der Hyperbelfunktionen:

${arcosh} }x & = & \ln(x + \sqrt{x^2-1})...... & \frac12 * \ln \frac{x+1}{x-1} | y| > 1$