Bernhard Kabelka - Analysis I: "Differentialrechnung

Lokale Untersuchung von

Die Funktion besitzt bei eine k-fache Nullstelle, wenn gilt:

$& & \lim_{x–> a}\frac{f(x)}{(x-a)^k = A \neq......_{x–> a}g(x) = A \neq 0 A in R$

Gilt für die Funktion $f(a)=f'(a)=...=f^{(n-1)}(a)=0$ und $f^{(n)} \neq 0$ , so besitzt in eine -fache Nullstelle.

Der folgende Satz liefert eine hinreichende Bedingung für relative Extrema: Gilt für die Funktion $f'(a)=...=f^{(n-1)}(a)=0$ und $f^{(n)} \neq 0$ und ist

gerade, $f^{(n)}(a) > 0$ , so besitzt in ein eigentliches relatives Minimum
gerade, $f^{(n)}(a) < 0$ , so besitzt in ein eigentliches relatives Maximum
ungerade, so besitzt in kein relatives Extremum

Ein Punkt heißt eigentlicher Wendepunkt von , wenn an auf strikt konvex (bzw. konkav) und auf strikt konkav (bzw. konvex) ist.

Ist ein Wendepunkt von und zweimal differenzierbar, so gilt: .

Der folgende Satz liefert eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte: Gilt für die Funktion $f''(a)=...=f^{(n-1)}(a)=0$ und $f^{(n)} \neq 0$ und ist

gerade, so besitzt in keinen Wendepunkt
ungerade, so besitzt in einen Wendepunkt