Grundbegriffe und Existenzsätze

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung der Gestalt

$g(t, x_1, x_1', ..., x_1^{(n)}, ..., x_k, x_k', ..., x_k^{(n)}) = 0$

wobei die Unbekannten die Funktionen der reellen Variablen sind. Die höchste in der Gleichung auftretende Ableitungsordnung nennt man die Ordnung der Differentialgleichung.

Tritt die Variable in der Differentialgleichung nicht explizit auf, so heißt die Differentialgleichung autonom; Gleichungen der Gestalt

$x_1^{(n)} = f(t, x_1, x_1', ..., x_1^{(n-1)}......,x_2^{(n)}, ..., x_k, x_k', ..., x_k^{(n)})$

heißen explizit.

Eine -mal differenzierbare Funktion $phi: M \subseteq R–> R^k$ ( offen) heißt Lösung der Differentialgleichung

$g(t, x_1, x_1', ..., x_1^{(n)}, ..., x_k, x_k', ..., x_k^{(n)}) = 0$

auf , wenn für alle gilt:

$g(t, phi_1(t), phi_1......phi_k'(t), ..., phi_k^{(n)}(t)) = 0$

Jede Lösung definiert also eine Kurve in , die sogenannte Lösungskurve. Ist ein Intervall, so spricht man von einer Intervall-Lösung.

Für die Lösungen einer Differentialgleichung kann man eine Ordnungsrelation einführen vermöge

$(phi, M) <= (psi, N) :\!\!\if......uremath .AND. psi| _M = phi$

Durch die Festsetzung $x_{ij} := x_i^{(j-1)}$ kann man eine Differentialgleichung -ter Ordnung

$g(t, x_1, x_1', ..., x_1^{(n)}, ..., x_k, x_k', ..., x_k^{(n)}) = 0$

in ein äquivalentes System erster Ordnung

${\begin{array}lx_{ij}' = x_{i,j+1} \qqua...... x_{k1}, ..., x_{kn}, x_{kn}') = 0\end{array} .$

transformieren.

Ein Differentialgleichungssystem heißt gekoppelt, wenn es nicht in voneinander unabhängige Teilsysteme zerlegt werden kann. Ist das Gegenteil der Fall, d.h. es existiert eine Auswahl von Koordinaten von und eine Auswahl von Gleichungen , sodass die ausgewählten Gleichungen nur die ausgewählten Koordinaten enthalten, und die restlichen Gleichungen nur von den restlichen Koordinaten abhängen, so nennt man das System entkoppelt. Dazwischen liegen die teilweise entkoppelten Systeme, bei denen eine Auswahl im obigen Sinn existiert, ohne dass für die nicht ausgewählten Koordinaten und Gleichungen irgendwelche Voraussetzungen gemacht werden.

Sei $h: M \subseteq R^k–> R$ differenzierbar. Dann ist die Festsetzung eine Variablensubstitution, die das System

$g(t,{x},{x}') = {0}in R^k$

in das System

$g(t, h({y}), \frac{dh}{d\ensuremat......') = {0}in R^k$

überführt.

Im Falle eine expliziten Systems

erhält man

$\frac{dh}{d{y}({......nsuremath{y}' = f(t,h({y}))$

bzw. (sofern die Funktionalmatrix von invertierbar ist)

$y' = (\frac{dh}{d{y})^{-......emath{y}) * f(t,h({y}))$

Interpretiert man als Parameter, so heißt jede Lösungskurve einer Differentialgleichung Trajektorie. Die Menge aller Trajektorien eines Systems nennt man das Phasenportrait des Systems; der Raum, in dem die Trajektorien liegen, wird Phasenraum genannt.

Das Richtungsfeld expliziter Systeme erster Ordnung ist das durch das System bestimmte Vektorfeld, das die Tangentenrichtung der Lösungskurve angibt.

Einpunktige Trajektorien (die den konstanten Lösungen entsprechen) heißen auch Gleichgewichtslagen oder stationäre Punkte. Sie sind genau die singulären Punkte des Richtungsfeldes, d.h. jene Punkte , für die für alle gilt: .

Eine Lösungskurve eines Differentialgleichungssystems kann entweder in expliziter Form ( ) oder in impliziter Form ( $G(t,{x})={a}in R^k$ ) dargestellt sein. Jede Funktion $F: (t,{x}) \mapsto F(t,{x}) in R$ , die als Komponente einer impliziten Lösungsdarstellung in Frage kommt (d.h. die für jede Lösung konstant ist) heißt erstes Integral des Systems.

Das System von Integralgleichungen

$phi_i(t) = int\limits_{t_{0......_1(u), ..., phi_k(u)) du + c_i$

ist äquivalent zum Differentialgleichungssystem $\dot{x}=f(t,{x})}$ ( stetig) mit $c_i=x_i(t_{0})$ .

Jede Vorgabe eines Wertes ${x}(t_{0})={c}$ wird Anfangsbedingung genannt. Ein Differentialgleichungssystem $\dot{x}=f(t,{x})}$ zusammen mit einer Anfangsbedingung ${x}(t_{0})={c}$ wird als Anfangswertproblem bezeichnet.

Eine gegebene explizite Differentialgleichung -ter Ordnung

$x_1^{(n)} = f(t, x_1, \dot{x_1, ..., x_1^{(......}^{(n)}, ..., x_k, \dot{x_k, ..., x_k^{(n)})$

kann unter der Festsetzung $x_{ij} := x_i^{(j-1)}$ in das äquivalente System erster Ordnung

${\begin{array}l\dot{x_{1j} = x_{1,j+1} ......}, ..., x_{k1}, ..., x_{k,n+1})\end{array} .$

umgewandelt werden. Eine zugehörige Anfangsbedingung bedeutet also die Angabe der Werte von $x_1, \dot{x_1, ..., x_1^{(n-1)}, x_2, \dot{x_2, ..., x_2^{(n)}, ..., x_k, \dot{x_k, ..., x_k^{(n)}$ an der Stelle $t_{0}$ .