Bernhard Kabelka - Gewöhnliche Differentialgleichungen: "Elementare Lösungsmethoden

Parametrisierung

Hat an jeder Stelle einer Lösungskurve der Differentialgleichung einen anderen Wert, so kann man für eine Durchlaufung dieser Kurve als Parameter wählen. Mit dem Ansatz , und erhält man schließlich

${\begin{array}{rcl}\dot{y}(p) & = & p * \dot{......{\frac{\partial{g}{\partial{y'}& = & 0\end{array} .$

bzw.

${\begin{array}{rcl} \dot{x}(p) & \di......{\partial{y} \Big(x(p), y(p), p\Big)\end{array} .$

Tritt in der Gleichung für $\dot{x}(p)$ die Funktion nicht explizit auf, so ist diese Gleichung eine explizite Differentialgleichung erster Ordnung für , aus deren Lösung man durch $\dot{y}(p) = p * \dot{x}(p)$ mittels Integration gewinnt (analog mit vertauschten Rollen).

Im Allgemeinen werden so allerdings nicht alle Lösungen erfasst.

Bei Gleichungen des Typs

erhält man

$\dot{x}(p) = \frac{\frac{\partial{f}{\partial{......- p * \frac{\partial{f}{\partial{y}(y, p)$

wobei $\dot{x}(p)$ bzw. $\dot{y}(p)$ jeweils nur von und bzw. anhängen.

Spezialfälle dieser Art von Gleichungen sind:

, was zum System
$x(p) & = & f(p)\\\dot{y}(p) & = & p * \dot{x}(p)$
mit der Lösung
$x & = & f(p)\\y & = & int p * \dot{f}(p) dp + c$
führt.
Man erhält so sogar alle Lösungen.
(Clairaut-Differentialgleichungen):
Man erhält das System
$y(p) & = & p * x(p) + g(p)\\\dot{y}(p) & = & p * \dot{x}(p)$
was (falls nicht die Gestalt hat) zur Lösung
$x(p) & = & - \dot{g}(p)\\y(P) & = & - p * \dot{g}(p) + g(p)$
führt. Darüber hinaus sind alle Geraden Lösungskurven. Durch Zusammensetzen von Teilen dieser Lösungskurven erhält man alle Lösungen.
(D'Alembert-Differentialgleichungen):
Man erhält das System
$y(p) & = & f(p) * x(p) + g(p)\\\dot{y}(p) & = & p * \dot{x}(p)$
was (für ) zur linearen Differentialgleichung
$\dot{x}(p) = \frac{\dot{f}(p)}{p-f(p)} * x(p) + \frac{\dot{g}(p)}{p-f(p)}$
führt. Ist an einer Stelle $p_{0}$ $f(p_{0})=p_{0}$ , so gewinnt man die Gerade $y=p_{0}x+g(p_{0})$ als Lösungskurve. In diesem Fall können weitere Lösungen existieren, allerdings keine Geraden.