Parametrisierung

Hat y' an jeder Stelle einer Lösungskurve der Differentialgleichung g(x,y,y')=0 einen anderen Wert, so kann man für eine Durchlaufung dieser Kurve y' als Parameter wählen. Mit dem Ansatz y'=p, x=x(p) und y=y(p) erhält man schließlich

{\begin{array}{rcl}\dot{y}(p) & = & p * \dot{......{\frac{\partial{g}{\partial{y'}& = & 0\end{array} .

bzw.

{\begin{array}{rcl} \dot{x}(p) & \di......{\partial{y} \Big(x(p), y(p), p\Big)\end{array} .

Tritt in der Gleichung für \dot{x}(p) die Funktion y(p) nicht explizit auf, so ist diese Gleichung eine explizite Differentialgleichung erster Ordnung für x(p), aus deren Lösung man durch \dot{y}(p) = p * \dot{x}(p) mittels Integration y(p) gewinnt (analog mit vertauschten Rollen).

Im Allgemeinen werden so allerdings nicht alle Lösungen erfasst.

Bei Gleichungen des Typs

y = f(x,y')   {bzw.}   x = f(y,y')

erhält man

\dot{x}(p) = \frac{\frac{\partial{f}{\partial{......- p * \frac{\partial{f}{\partial{y}(y, p)

wobei \dot{x}(p) bzw. \dot{y}(p) jeweils nur von p und x(p) bzw. y(p) anhängen.

Spezialfälle dieser Art von Gleichungen sind:

  1. x = f(y'), was zum System

    x(p) & = & f(p)\\\dot{y}(p) & = & p * \dot{x}(p)

    mit der Lösung

    x & = & f(p)\\y & = & int p * \dot{f}(p)   dp + c

    führt.
    Man erhält so sogar alle Lösungen.
  2. y = xy' + g(y')     (Clairaut-Differentialgleichungen):
    Man erhält das System

    y(p) & = & p * x(p) + g(p)\\\dot{y}(p) & = & p * \dot{x}(p)

    was (falls g(p) nicht die Gestalt alpha p + beta hat) zur Lösung

    x(p) & = & - \dot{g}(p)\\y(P) & = & - p * \dot{g}(p) + g(p)

    führt. Darüber hinaus sind alle Geraden y=cx+g(c) Lösungskurven. Durch Zusammensetzen von Teilen dieser Lösungskurven erhält man alle Lösungen.
  3. y = x * f(y') + g(y')     (D'Alembert-Differentialgleichungen):
    Man erhält das System

    y(p) & = & f(p) * x(p) + g(p)\\\dot{y}(p) & = & p * \dot{x}(p)

    was (für f(p) <> p) zur linearen Differentialgleichung

    \dot{x}(p) = \frac{\dot{f}(p)}{p-f(p)} * x(p) + \frac{\dot{g}(p)}{p-f(p)}

    führt. Ist an einer Stelle p_{0} f(p_{0})=p_{0}, so gewinnt man die Gerade y=p_{0}x+g(p_{0}) als Lösungskurve. In diesem Fall können weitere Lösungen existieren, allerdings keine Geraden.

Durch die Festsetzung \dot{x}(t)=p(x) erhält man aus der autonomen Differentialgleichung

g(x, \dot{x}, ..., x^{(k)}) = 0       {(Ordnung k)}

die (nicht autonome) Gleichung

g(x, p, p'p, p''p+p'^2, ...) = 0       {(Ordnung k-1)}

Kann man daraus p(x) bestimmen, so erhält man durch Trennung der Variablen die implizite Lösungsdarstellung

t = int \frac{dx}{p(x)} + c

Mit diesem Verfahren werden allerdings nur streng monotone Lösungen erfässt.


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