Exakte Differentialgleichungen

Differentialgleichungen der Gestalt

a_1({x}) \dot{x}_1 + ... + a_k({x}) \dot{x}_k = 0

bzw.

a_1({x})   dx_1 + ... + a_k({x})   dx_k = 0

heißen exakt, wenn die zugehörige Differentialform sum\limits_{i=1}^ka_i({x})   dx_i eine Stammfunktion hat.

Die Trajektorien einer derartigen Differentialgleichung erfüllen die Gleichung F(x_1,...,x_k)=c, wobei F eine Stammfunktion der Differentialform omega({x}) = sum_{i=1}^k a_i({x})   dx_i ist, und c gewissen Einschränkungen unterworfen sein kann.

Jedes System von k-1 exakten Differentialgleichungen liefert auf diese Weise eine implizite Darstellung der Trajektorie, sofern die Koeffizientenfunktionen der Gleichung stetig und ihre Matrix vollen Rang (k-1) hat.

Sind die Koeffizientenfunktionen a_j({x}) stetig differenzierbar, so ist eine Gleichung der obigen Gestalt genau dann exakt, wenn domega=0 ist, d.h. wenn die Integrabilitätsbedingungen \frac{\partial{a_i{\partial{x_j({x})=\frac{\partial{a_j{\partial{x_i({x}) ( 1 <= i < j <= k) gelten.

Hat man nun eine nicht exakte Differentialgleichung

a_1({x})   dx_1 + ... + a_k({x})   dx_k = 0

gegeben, so kann man versuchen, diese durch Multiplikation mit einer Funktion M({x}) exakt zu machen. Jede Funktion M({x}), die das leistet, nennt man einen integrierenden Faktor oder Euler-Multiplikator.

Ist M({x}) ein integrierender Faktor, so sind die Lösungen der erhaltenen exakten Differentialgleichung

M({x}) * a_1(\math......{x}) * a_k({x})   dx_k = 0

entweder Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung oder Nullstellen von M({x}) (oder beides). Man erhält sogar alle Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung mit Ausnahme jener, für die M({x}) nicht definiert ist (falls solche überhaupt existieren).

Das Suchen von integrierenden Faktoren ist jedoch meist ein eher mühseliges Unterfangen, weshalb man üblicherweise Faktoren spezieller Gestalt heranzieht:

  1. M(x_i):
    Man erhält über die Integrabilitätsbedingung

    \ln | M(x_i)| = int \frac{M'(x_i)}{M(x_i)} \......{x})}{a_j({x})}   dx_i

    wobei ein derartiger integrierender Faktor nur dann existiert, wenn der rechts stehende Integrand für alle j <> i gleich ist und nur von x_i abhängt. Außerdem müssen alle Integrabilitätsbedingungen, bei denen nicht nach x_i differenziert wird, bereits von vornherein erfüllt sein.
  2. M(f(x_1,...,x_k)):
    In diesem Fall nimmt man für die Funktion f eine spezielle Gestalt (z.B. f(x_1,...,x_k)=x_1+...+x_k oder f(x_1,...,x_k)=x_1 * ... * x_k) und erhält aus den Integrabilitätsbedingungen

    \frac{M'}M \circ f = \frac{\frac{\partial{a_{...... \frac{\partial{f}{\partial{x_j* a_i

    (sofern die rechte Seite für alle Paare (i,j) mit i <> j gleich ist und die Gestalt G(f(x_1,...,x_k)) hat)

    \ln | M(z)| = int \frac{M'}M(z)   dz = int G(z)   dz

Hat man ein autonomes System \dot{x} = f({x}) gegeben, so erhält man daraus ein System von Differentialgleichungen der Form

f_i({x})   dx_j - f_j({x})   dx_i = 0

zu denen man (sofern die Gleichungen exakt sind oder sich durch Multiplikation mit einem integrierenden Faktor exakt machen lassen) ein erstes Integral F finden kann, das dann auch ein erstes Integral des Systems \dot{x} = f({x}) ist (d.h. F({x})=c ist eine Gleichung für dessen Trajektorien).


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