Differentialgleichungen und Kurvenscharen

Ordnet man gewissen Parameterwerten jeweils eine Kurve in zu, so erhält man eine -parametrige Kurvenschar, die beispielsweise mittels der Durchlaufung

oder in der impliziten Form

beschrieben werden kann.

Eine Differentialgleichung, für die sämtliche Kurven einer gegebenen Kurvenschar Lösungskurven (im Falle einer Schar in Durchlaufungsform) bzw. Trajektorien (im Fall einer implizit definierten Schar) sind, heißt Differentialgleichung einer Kurvenschar.

Ist die Kurvenschar durch gegeben, so erhält man die Differentialgleichung der Schar durch Elimination von aus dem Gleichungssystem

bzw. im Fall einer impliziten Schar durch Elimination von aus dem System

Kurven, längs derer das Richtungsfeld einer Differentialgleichung konstant ist, nennt man Isokline. Bei Gleichungen der Form ( , ) sind sie implizit definiert durch ; bei expliziten Differentialgleichungen können sie durch beschrieben werden.

Hat man eine Kurvenschar gegeben, so nennt man alle Kurven, die an jedem Schnittpunkt mit einer Scharkurve zu dieser orthogonal sind (d.h. die Tangente in diesem Punkt steht normal auf die Tangente der Scharkurve in diesem Punkt), orthogonale Trajektorien.

Hat eine Differentialgleichung einer Kurvenschar noch weitere Lösungen außer den Scharkurven, so haben diese an jedem Schnittpunkt mit einer Scharkurve dieselbe Tangente, d.h. die beiden Kurven berühren einander.

Berührt eine Kurve in jedem ihrer Punkte mindestens eine von verschiedene Scharkurve, und berührt außerdem jede Scharkurve (zumindest in einem Punkt), so heißt Einhüllende der Kurvenschar.

Jede Einhüllende einer Lösungsschar einer Differentialgleichung (oder einer Teilschar davon) ist ebenfalls eine Lösungskurve der Differentialgleichung; dasselbe gilt für alle aus Teilen von Scharkurven und Teilen der Einhüllenden zusammengesetzten differenzierbaren Kurven.

Sofern die Kurvenschar bereits ein ganzes Gebiet ausfüllt, sind dies sogar alle Lösungskurven der Differentialgleichung in .

Hat man nun eine -parametrige Kurvenschar gegeben, so erhält man (sofern stetig differenzierbar ist)

als notwendige Bedingung für die Einhüllende, was durch Elimination von bzw. Darstellung von als Funktion von eine Gleichung bzw. eine Durchlaufungsdarstellung, der die Punkte der Einhüllenden genügen, liefert.

Im Fall erhält man so allerdings nur eine Hyperfläche, auf der die Einhüllende (sofern sie überhaupt existiert) liegen muss. Nur für liefert das eine implizite Darstellung bzw. eine Durchlaufung einer Kurve, auf der die Punkte der Einhüllenden der Schar (bzw. einer Teilschar) sowie die singulären Punkte der Darstellung (d.h. Punkte mit und ) liegen. Diese singulären Punkte könnten nun ebenfalls zur Einhüllenden gehören, müssen allerdings nicht. Dies muss jeweils im konkreten Fall entschieden werden; für die Bestimmung der (Halb-)Tangentenrichtung in singulären Punkten sei hierbei auf Analysis III verwiesen.