Lineare Differentialgleichungen

Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung

Systeme der Gestalt

\dot{x}=A(t)*{x}+{b}(t)}

heißen Systeme linearer Differentialgleichungen (erster Ordnung).

Analog zum eindimensionalen Fall wird die (im Allgemeinen von t abhängige) Matrix A Koeffizientenmatrix und die Funktion {b} die Störfunktion oder Inhomogenität des Systems genannt. Ebenso spricht man von einem homogenen System, sofern {b} die Nullfunktion ist, sonst von einem inhomogenen System.

Das Anfangswertproblem \dot{x}=A(t)*{x}+{b}(t), {x}(t_{0})={c} hat auf I × R^k (I ist das maximale Stetigkeitsintervall von A(t) und {b}(t) um t_{0}) eine eindeutig bestimmte maximale Intervall-Lösung.

Für k Funktionen phi_{(1)}, ..., phi_{(k)} von I (I Intervall) nach R^k wird die Matrix mit den Spalten phi_{(1)}, ..., phi_{(k)} Wronski-Matrix und ihre Determinante Wronski-Determinante genannt.

Sei A(t) eine k\!×\!k-Matrix von auf I (I Intervall) stetigen Funktionen. Die Lösungen des Differentialgleichungssystems \dot{x}=A(t)*{x} bilden dann einen k-dimensionalen Vektorraum L(I).

Für die Wronski-Determinante D(t) von phi_{(1)}, ..., phi_{(k)}in L(I) gilt dann:

  1. D(t) = D(t_{0}) * \exp ( int\limits_{t_{0}^{t}({sp}   A)(u)   du )   forall   t_{0},t in I
  2. Folgende Aussagen sind äquivalent:
    1. phi_{(1)}, ..., phi_{(k)} bilden eine Lösungsbasis
    2. D(t_{0}) <> 0     für ein t_{0} in I
    3. D(t) <> 0   forall   t in I

Hat man eine Lösungsbasis des Systems \dot{x}=A(t)*{x} gefunden, so lautet die Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems {x}(t_{0})={c}

phi(t) = W(T) * W^{-1}(t) * {c}

wobei W(t) die Wronski-Matrix der Lösungsbasis bezeichnet.

Das Reduktionsverfahren von D'Alembert hilft bei der Suche nach Lösungsbasen von linearen Differentialgleichungssystemen \dot{x}=A(t)*{x} für k>1:

Hat man eine (von der Nullfunktion verschiedene) Lösung {x}=phi(t)} gefunden, so kann man jede weitere Lösung psi(t) darstellen durch psi(t) = c(t) * phi(t) + tau(t) mit c(t) in R und tau: I –> R^k.

Sei nun o.B.d.A. phi_1(t) <> 0, so setzt man c(t) := \frac{psi_1(t)}{phi_1(t)}, was tau_1=0 liefert. Durch Einsetzten von psi(t) = c(t) * phi(t) + tau(t) in die ursprüngliche Gleichung erhält man (durch Betrachten der ersten Komponente) eine Gleichung für \dot{c}(t), woraus man (durch Einsetzen in die anderen Komponenten) schließlich ein lineares Differentialgleichungssystem für tau_2, ..., tau_k (d.h. mit niedrigerer Dimension) erhält.

Kann man nun eine Lösungsbasis tau_{(1)}, ..., tau_{(k-1)} des neuen Systems finden, so bildet

phi(t), c_{(1)}(t) * \......_{(k-1)}(t) * phi(t) + tau_{(k-1)}(t)

eine Lösungsbasis des ursprünglichen Systems.


Inhomogene Systeme löst man analog zum eindimensionalen Fall: Man erhält alle Lösungen von \dot{x}=A(t)*{x}+{b}(t)}, indem man zu einer beliebigen Lösung des inhomogenen Systems die allgemeine Lösung des homogenen Systems addiert.

Eine partikuläre Lösung liefert hier wieder die Variation der Konstanten: Ist W(t) die Wronski-Matrix einer Lösungsbasis des homogenen Systems, so liefert Einsetzen von psi(t) = W(t) * sigma(t) in das inhomogene System die Gleichung sigma(t) = int W^{-1}(t) * {b}(t)   dt und damit {x}_{p}= W(t) * int W^{-1}(t) * {b}(t)   dt bzw. (sofern {b}(t) das homogene System löst) {x}_{p}= t * {b}(t).

Die Lösung des Anfangswertproblems

\dot{x}=A(t)*{x}+{b}(t)},   {x}(t_{0})={c}

lautet also

phi(t) = W(T) * W^{-1}(t_{0}) *......t_{0}^{t}W^{-1}(u) * {b}(u)   du

Sind alle Koeffizientenfunktionen von A(t) und {b}(t) auf einem Intervall I um t_{0} in Potenzreihen entwickelbar, so kann man auch die Potenzreihenmethode zur Lösung eines Anfangswertproblems heranziehen: Man setzt alle Komponenten der Lösungsfunktion phi unbestimmt als Potenzreihe an, setzt in die Differentialgleichungen ein und versucht, die unbekannten Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen.


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