Lineare Differentialgleichungen

Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung

Systeme der Gestalt

$\dot{x}=A(t)*{x}+{b}(t)}$

heißen Systeme linearer Differentialgleichungen (erster Ordnung).

Analog zum eindimensionalen Fall wird die (im Allgemeinen von abhängige) Matrix Koeffizientenmatrix und die Funktion die Störfunktion oder Inhomogenität des Systems genannt. Ebenso spricht man von einem homogenen System, sofern die Nullfunktion ist, sonst von einem inhomogenen System.

Das Anfangswertproblem $\dot{x}=A(t)*{x}+{b}(t), {x}(t_{0})={c}$ hat auf ( ist das maximale Stetigkeitsintervall von und um $t_{0}$ ) eine eindeutig bestimmte maximale Intervall-Lösung.

Für Funktionen $phi_{(1)}, ..., phi_{(k)}$ von ( Intervall) nach wird die Matrix mit den Spalten $phi_{(1)}, ..., phi_{(k)}$ Wronski-Matrix und ihre Determinante Wronski-Determinante genannt.

Sei eine $k\!×\!k$ -Matrix von auf ( Intervall) stetigen Funktionen. Die Lösungen des Differentialgleichungssystems $\dot{x}=A(t)*{x}$ bilden dann einen -dimensionalen Vektorraum .

Für die Wronski-Determinante von $phi_{(1)}, ..., phi_{(k)}in L(I)$ gilt dann:

$D(t) = D(t_{0}) * \exp ( int\limits_{t_{0}^{t}({sp} A)(u) du ) forall t_{0},t in I$
Folgende Aussagen sind äquivalent:
1. $phi_{(1)}, ..., phi_{(k)}$ bilden eine Lösungsbasis
2. $D(t_{0}) <> 0$ für ein $t_{0} in I$

Hat man eine Lösungsbasis des Systems $\dot{x}=A(t)*{x}$ gefunden, so lautet die Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems ${x}(t_{0})={c}$

$phi(t) = W(T) * W^{-1}(t) * {c}$

wobei die Wronski-Matrix der Lösungsbasis bezeichnet.

Das Reduktionsverfahren von D'Alembert hilft bei der Suche nach Lösungsbasen von linearen Differentialgleichungssystemen $\dot{x}=A(t)*{x}$ für :

Hat man eine (von der Nullfunktion verschiedene) Lösung gefunden, so kann man jede weitere Lösung darstellen durch mit und .

Sei nun o.B.d.A. , so setzt man $c(t) := \frac{psi_1(t)}{phi_1(t)}$ , was liefert. Durch Einsetzten von in die ursprüngliche Gleichung erhält man (durch Betrachten der ersten Komponente) eine Gleichung für $\dot{c}(t)$ , woraus man (durch Einsetzen in die anderen Komponenten) schließlich ein lineares Differentialgleichungssystem für (d.h. mit niedrigerer Dimension) erhält.

Kann man nun eine Lösungsbasis $tau_{(1)}, ..., tau_{(k-1)}$ des neuen Systems finden, so bildet

$phi(t), c_{(1)}(t) * \......_{(k-1)}(t) * phi(t) + tau_{(k-1)}(t)$

eine Lösungsbasis des ursprünglichen Systems.

Inhomogene Systeme löst man analog zum eindimensionalen Fall: Man erhält alle Lösungen von $\dot{x}=A(t)*{x}+{b}(t)}$ , indem man zu einer beliebigen Lösung des inhomogenen Systems die allgemeine Lösung des homogenen Systems addiert.

Eine partikuläre Lösung liefert hier wieder die Variation der Konstanten: Ist die Wronski-Matrix einer Lösungsbasis des homogenen Systems, so liefert Einsetzen von in das inhomogene System die Gleichung $sigma(t) = int W^{-1}(t) * {b}(t) dt$ und damit ${x}_{p}= W(t) * int W^{-1}(t) * {b}(t) dt$ bzw. (sofern das homogene System löst) ${x}_{p}= t * {b}(t)$ .

Die Lösung des Anfangswertproblems

$\dot{x}=A(t)*{x}+{b}(t)}, {x}(t_{0})={c}$

lautet also

$phi(t) = W(T) * W^{-1}(t_{0}) *......t_{0}^{t}W^{-1}(u) * {b}(u) du$

Sind alle Koeffizientenfunktionen von und auf einem Intervall I um $t_{0}$ in Potenzreihen entwickelbar, so kann man auch die Potenzreihenmethode zur Lösung eines Anfangswertproblems heranziehen: Man setzt alle Komponenten der Lösungsfunktion unbestimmt als Potenzreihe an, setzt in die Differentialgleichungen ein und versucht, die unbekannten Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen.