Bernhard Kabelka - Gewöhnliche Differentialgleichungen: "Lineare Differentialgleichungen - Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten"

Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten

Man kann mit Hilfe der Matrizenexponentialfunktion

$e^B = sum_{n=0}^{infty} \frac{B^n{n!}$

mit den Rechenregeln

$e^{A+B} = e^A * e^B = e^B * e^A$ (sofern )
$e^{0} = E$
$e^A * e^{-A} = E$ , d.h. ist regulär $forall A in K^{n × n}$
$e^{T^{-1} * A * T} = T^{-1} * e^A * T$
(sofern )

die Lösung des Anfangswertproblems $\dot{x} = A * {x}$ , ${x}(t_{0})={c}$ bestimmen:

${x}= e^{(t-t_{0}) * A} * \en......t {c}_{={x}(0)}$

Das Anfangswertproblem $\dot{x} = A * {x}$ , ${x}(t_{0})={c}$ ist also äquivalent zum Anfangswertproblem $\dot{x} = A * {x}$ , ${x}(0) = e^{-t_{0}A} * {c}$ . Der Übergang vom Anfangswert ${x}(t_{0})={c}$ auf erfolgt durch Multiplikation der Lösung mit der Übergangsmatrix $e^{t_{0}A}$ .

Indem man $e^{-t_{0}A} * {c}$ eine Basis von - speziell die kanonische Basis - durchlaufen lässt, stellt man fest, dass man die Spalten von $e^{tA}$ als Lösungsbasis des (homogenen) Systems $\dot{x} = A * {x}$ verwenden kann.

Stellt man nun Überlegungen zur linearen Variablentransformation an, so kann man zeigen, dass auch die Spalten von $T * e^{tJ}$ eine Lösungsbasis bilden, wobei die Jordan-Normalform von und die zugehörige Transformationsmatrix ( $A = T * J * T^{-1}$ ) ist.

Damit reduziert sich das Problem der Berechnung von $e^{tJ}$ auf Matrizen in Jordan-Normalform, wobei man sich hier wiederum auf die einzelnen Jordan-Kästchen konzentrieren kann:

Ist von der Gestalt

$J = {diag} }(B_1, ..., B_n)$

wobei ( ) Jordan-Kästchen der Größe sind, so gilt:

$e^{tJ} = {diag} }(e^{tB_1, ..., e^{tB_n)$

mit

Ist $B_i = {diag} }(lambda, ..., lambda)$ , so gilt:
$e^{tB_i = {diag} }(e^{lambda t}, ..., e^{lambda t}) = e^{lambda t} * E_{p_i$
Ist $B_i = ( \begin{array}{cccc} lambda & 1 & *s & 0 \\ 0 & lambda & \d......\vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & *s & 0 & lambda \\ \end{array} )$ , so gilt:
$e^{tB_i = e^{lambda t} * (\begin{array}{cccc......s & t\\0 & *s & *s & 0 & 1\\\end{array} )$

Die Basis des reellen Lösungsraumes des (homogenen) Systems $\dot{x} = A * {x}$ erhält man dann, indem man Real- und Imaginärteil des Spalten der Matrix $T * e^{tJ}$ trennt.

Man kann zur Berechnung der reellen Lösungsbasis auch die reelle Jordan-Normalform heranziehen: Hat die Matrix reelle und komplexe Eigenwerte, so betrachtet man die ersten Spalten der Matrix

$(\begin{array}{cc}Re T & -Im T\\Im T & Re T......Im e^{tJ}\\Im e^{tJ} & Re e^{tJ}\\\end{array} )$

Die Realteile (="obere Hälften") und die von verschiedenen Imaginärteile (="untere Hälften") bilden dann die (reelle) Lösungsbasis.

Hat man ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem $\dot{x} = A * {x}$ mit singulärer Matrix gegeben, so bestimmt man zuerst eine nichttriviale Lösung des linearen Gleichungssystems , die gleichzeitig auch eine nichttriviale konstante Lösung des Differentialgleichungssystems ist. Schließlich wendet man das D'Alembert-Reduktionsverfahren an, dass ein System mit konstanten Koeffizienten niedrigerer Ordnung liefert.

Hat man ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem $\dot{x} = A * {x}+ {b}(t)$ gegeben, so erhält man eine partikuläre Lösung mittels

$phi_{p}(t) = T * e^{tJ} * int e^{-tJ} * T^{-1} * {b}(t) dt$

wobei wieder die Jordan-Normalform von und die zugehörige Transformationsmatrix bezeichne.

Oft ist es jedoch auch günstig, als Linearkombination von Funktionen verschiedener "Bauart" aufzufassen:

${b}(t) = sum_{j=1}^l alpha_j * {b}_j(t)$

Kann man nämlich eine partikuläre Lösung $phi_{(j)}$ von $\dot{x} = A * {x}+ {b}_j(t)$ finden, so ist

$phi(t) = sum_{j=1}^l alpha_j * phi_{(j)}(t)$

eine partikuläre Lösung des ursprünglichen Systems.
Man erhält folgende Tabelle:

Tabelle