Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten

Man kann mit Hilfe der Matrizenexponentialfunktion

e^B = sum_{n=0}^{infty} \frac{B^n{n!}

mit den Rechenregeln

  1. e^{A+B} = e^A * e^B = e^B * e^A         (sofern A * B = B* A)
  2. e^{0} = E
  3. e^A * e^{-A} = E, d.h. e^A ist regulär forall   A in K^{n × n}
  4. e^{T^{-1} * A * T} = T^{-1} * e^A * T
  5. B * e^A = e^A * B         (sofern A * B = B* A)

die Lösung {x}=phi(t) des Anfangswertproblems \dot{x} = A * {x}, {x}(t_{0})={c} bestimmen:

{x}= e^{(t-t_{0}) * A} * \en......t {c}_{={x}(0)}

Das Anfangswertproblem \dot{x} = A * {x}, {x}(t_{0})={c} ist also äquivalent zum Anfangswertproblem \dot{x} = A * {x}, {x}(0) = e^{-t_{0}A} * {c}. Der Übergang vom Anfangswert {x}(t_{0})={c} auf {x}(0)={c} erfolgt durch Multiplikation der Lösung mit der Übergangsmatrix e^{t_{0}A}.

Indem man e^{-t_{0}A} * {c} eine Basis von R^k - speziell die kanonische Basis - durchlaufen lässt, stellt man fest, dass man die Spalten von e^{tA} als Lösungsbasis des (homogenen) Systems \dot{x} = A * {x} verwenden kann.

Stellt man nun Überlegungen zur linearen Variablentransformation an, so kann man zeigen, dass auch die Spalten von T * e^{tJ} eine Lösungsbasis bilden, wobei J die Jordan-Normalform von A und T die zugehörige Transformationsmatrix ( A = T * J * T^{-1}) ist.

Damit reduziert sich das Problem der Berechnung von e^{tJ} auf Matrizen J in Jordan-Normalform, wobei man sich hier wiederum auf die einzelnen Jordan-Kästchen konzentrieren kann:

Ist J von der Gestalt

J = {diag} }(B_1, ..., B_n)

wobei B_i ( i=1, ..., n) Jordan-Kästchen der Größe p_i sind, so gilt:

e^{tJ} = {diag} }(e^{tB_1, ..., e^{tB_n)

mit

  1. Ist B_i = {diag} }(lambda, ..., lambda), so gilt:

    e^{tB_i = {diag} }(e^{lambda t}, ..., e^{lambda t}) = e^{lambda t} * E_{p_i

  2. Ist B_i = ( \begin{array}{cccc} lambda & 1 & *s & 0 \\ 0 & lambda & \d......\vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & *s & 0 & lambda \\ \end{array} ), so gilt:

    e^{tB_i = e^{lambda t} * (\begin{array}{cccc......s & t\\0 & *s & *s & 0 & 1\\\end{array} )

Die Basis des reellen Lösungsraumes des (homogenen) Systems \dot{x} = A * {x} erhält man dann, indem man Real- und Imaginärteil des Spalten der Matrix T * e^{tJ} trennt.

Man kann zur Berechnung der reellen Lösungsbasis auch die reelle Jordan-Normalform heranziehen: Hat die Matrix A r reelle und 2s komplexe Eigenwerte, so betrachtet man die ersten r+s Spalten der Matrix

(\begin{array}{cc}Re T & -Im T\\Im T & Re T......Im e^{tJ}\\Im e^{tJ} & Re e^{tJ}\\\end{array} )

Die Realteile (="obere Hälften") und die von {0} verschiedenen Imaginärteile (="untere Hälften") bilden dann die (reelle) Lösungsbasis.


Hat man ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem \dot{x} = A * {x} mit singulärer Matrix A gegeben, so bestimmt man zuerst eine nichttriviale Lösung {c} des linearen Gleichungssystems A * {x}= {0}, die gleichzeitig auch eine nichttriviale konstante Lösung des Differentialgleichungssystems ist. Schließlich wendet man das D'Alembert-Reduktionsverfahren an, dass ein System mit konstanten Koeffizienten niedrigerer Ordnung liefert.


Hat man ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem \dot{x} = A * {x}+ {b}(t) gegeben, so erhält man eine partikuläre Lösung mittels

phi_{p}(t) = T * e^{tJ} * int e^{-tJ} * T^{-1} * {b}(t)   dt

wobei J wieder die Jordan-Normalform von A und T die zugehörige Transformationsmatrix bezeichne.

Oft ist es jedoch auch günstig, {b}(t) als Linearkombination von Funktionen verschiedener "Bauart" aufzufassen:

{b}(t) = sum_{j=1}^l alpha_j * {b}_j(t)

Kann man nämlich eine partikuläre Lösung phi_{(j)} von \dot{x} = A * {x}+ {b}_j(t) finden, so ist

phi(t) = sum_{j=1}^l alpha_j * phi_{(j)}(t)

eine partikuläre Lösung des ursprünglichen Systems.
Man erhält folgende Tabelle:

Tabelle


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