Bernhard Kabelka - Gewöhnliche Differentialgleichungen: "Stabilität

Die direkte Methode von Ljapunow

Eine Funktion $V: \overline{S(a,sigma)} –> R$ heißt positiv (semi)definit bezüglich , wenn es eine nur von abhängige Funktion $W: \overline{K_{sigma}({0})} –> R$ gibt, die positiv (semi)definit ist und für die gilt: $W({x}) <= V(t,{x}) forall (t,{x}) in \overline{S(a,sigma)}$ .
Analog nennt man eine Funktion $V: \overline{S(a,sigma)} –> R$ negativ (semi)definit bezüglich , wenn es eine nur von abhängige Funktion $W: \overline{K_{sigma}({0})} –> R$ gibt, die negativ (semi)definit ist und für die gilt: $W({x}) >= V(t,{x}) forall (t,{x}) in \overline{S(a,sigma)}$ .

Eine stetige Funktion $W: \overline{K_{sigma}({0})} –> R$ ist genau dann positiv definit, wenn es eine stetige, streng monoton wachsende Funktion gibt, für die und $W({x}) >= alpha(\Vert{x...... {x}in \overline{K_{sigma}({0})}$ gilt.

Ist $V: (t,{x}) \mapsto V(t,{x}) in R$ eine differenzierbare Funktion, so nennt man $\dotV(t,{x}) = \frac{\partialV{\partial......_j(t,{x}) * f_j(t,{x})$ die Ableitung von bezüglich des Systems oder längs der Trajektorien des Systems $\dot{x}=f(t,{x})}$ .
Für jedes erste Integral des Systems $\dot{x}=f(t,{x})}$ gilt $\dotF(t,{x})=0$ für jedes , welches auf einer Trajektorie liegt.

Eine zumindest auf definierte, differenzierbare reellwertige Funktion heißt Ljapunow-Funktion des (zumindest auf definierten) Systems $\dot{x}=f(t,{x})}$ mit , wenn für geeignetes gilt:

ist auf $\overline{S(a,sigma)}$ positiv definit bezüglich .
$\dotV(t,{x})$ ist auf $\overline{S(a,sigma)}$ negativ semidefinit bezüglich .

Hinreichend für die Stabilität auf der Null-Lösung des Systems $\dot{x}=f(t,{x})}$ mit zumindest auf stetigem mit ist dann die Existenz einer Ljapunow-Funktion .
Fordert man zusätzlich, dass $\dotV$ negativ definit bezüglich ist, und dass der Grenzübergang $\lim_{x}–> {0} V(t,{x}) = 0$ gleichmäßig bezüglich ist, so kann man sogar auf die asymptotische Stabilität auf schließen.

Hinreichend für die Instabilität auf der Null-Lösung des Systems $\dot{x}=f(t,{x})}$ mit zumindest auf stetigem mit ist die Existenz einer differenzierbaren Funktion mit

hinreichend kleine $sigma < rho: exists t_{0} >= a, {c}in K_{sigma}({0}): V(t_{0},{c}) < 0$
$\dotV$ ist negativ definit bezuüglich
$\lim_{x}–> {0} V(t,{x}) = 0$ ist gleichmäßig bezüglich

Man kann (für dasselbe System wie oben) auch die Existenz einer stetig differenzierbaren Funktion und die eines Gebietes $X \subseteq K_{sigma}({0})$ ( passend) fordern mit

$V(t,{0}) = 0 forall t >= a, forall \e......bf{x}in K_{sigma}({0}) \cap {Rd}X$
ist auf positiv und beschränkt durch
$\dotV(t,{x}) >= alpha(V(t,{x}))$ auf für eine stetige, monoton wachsende Funktion mit

Auch in diesem Fall folgt die Instabilität der Null-Lösung auf .

Das Auffinden derartiger Funktionen ist allerdings oft schwierig. Manchmal leistet ein erstes Integral eines vereinfachten Systems das Gewünschte.

Bei autonomen Systemen in der Ebene hilft oft auch die Transformation in Polarkoordinaten, wo z.B. aus dem Vorzeichen von $\dot{r}$ Rückschlüsse auf die Stabilität von Lösungen gezogen werden können.