Bernhard Kabelka - Gewöhnliche Differentialgleichungen: "Qualitative Analyse - Phasenportraits zweidimensionaler autonomer Systeme in der Nähe stationärer Punkte"

Phasenportraits zweidimensionaler autonomer Systeme in der Nähe stationärer Punkte

Zuerst betrachtet man homogene lineare Differentialgleichungssysteme

$( \begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array} ) = A * ( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} )$

Hat konjugiert komplexe Eigenwerte und $\overline{lambda}$ , so umrundet jede Trajektorie den einzigen stationären Punkt , und zwar in folgendem Sinn:

Polarradius wächst, d.h. ist ein abstoßender Brenn- oder Strudelpunkt.
Polarradius fällt, d.h. ist ein anziehender Brenn- oder Strudelpunkt.
Polarradius ist konstant, d.h. ist ein Zentrum oder Wirbelpunkt.


abstoßender Strudelpunkt	anziehender Strudelpunkt	Zentrum

Sind die Eigenwerte von beide reell, so strebt der Polarwinkel jeder Lösung des Systems für $t –> \pminfty$ gegen einen endlichen Grenzwert. Diese Grenzwerte werden charakteristische Richtungen des Systems genannt. Es stellt sich heraus, dass der zum größeren Eigenwert gehörige Eigenvektor die charakteristische Richtung für beschreibt (in den folgenden Skizzen immer blau dargestellt), während der zum kleineren Eigenwert gehörige Eigenvektor die charakteristische Richtung für angibt (in den folgenden Skizzen immer rot dargestellt).

Sind die beiden Eigenwerte und verschieden, so gibt es folgende Fälle:

Polarradius wächst, d.h. ist ein abstoßender Knoten. Die Tangentenrichtungen der nicht geraden Trajektorien streben bei Annäherung an gegen die zum kleineren Eigenwert gehörige charakteristische Richtung, während sie sich für der zum größeren Eigenwert gehörigen charakteristischen Richtung nähern.
Polarradius fällt, d.h. ist ein anziehender Knoten. Die Tangentenrichtungen der nicht geraden Trajektorien streben bei Annäherung an gegen die zum größeren Eigenwert gehörige charakteristische Richtung, während sie sich für der zum kleineren Eigenwert gehörigen charakteristischen Richtung nähern.
, (o.B.d.A.) ist ein Sattelpunkt. Die nicht geraden Trajektorien schmiegen sich in der Nähe von an das Kreuz der charakteristischen Richtungen.


abstoßender Knoten	Sattelpunkt

Tritt ein doppelter Eigenwert auf, so liegt entweder ein Sternknoten vor, d.h. die Trajektorien sind genau die Halbgeraden durch den Ursprung (das ist dann der Fall, wenn der Eigenraum zweidimensional ist), oder man erhält einen Knoten, bei dem es nur eine charakteristische Richtung gibt. Je nach dem Vorzeichen des Eigenwertes spricht man wieder von einem abstoßenden oder einem anziehenden (Stern-)Knoten.


abstoßender Sternknoten	abstoßender Knoten

Ist ein Eigenwert 0, so sind alle Punkte auf der durch den zu 0 gehörigen Eigenvektor aufgespannten Geraden durch den Ursprung singuläre Punkte. Die übrigen Trajektorien sind entweder die Halbgeraden, deren Richtung durch den Eigenvektor zum anderen Eigenwert beschrieben ist (wenn ein zweiter, von 0 verschiedener Eigenwert vorliegt), und die von einem singulären Punkt ausgehen (zu diesem hin orientiert, falls , ansonsten von ihm weg orientiert), oder die zu parallelen Geraden (falls 0 doppelter Eigenwert ist).


Eigenwerte 0 und	doppelter Eigenwert 0

Hat man das System ${ \begin{array}{rcl} \dot{x} & = & p(x,y) \\ \dot{y} & = & q(x,y) \end{array} .$ mit der Gleichgewichtslage gegeben, und ist $\frac{d(p,q)}{d(x,y)}(alpha,beta)$ regulär, so gilt, dass das Phasenportrait des ursprünglichen Systems "ähnlich" jenem des linearisierten Systems ist, d.h. präziser ausgedrückt:

Ist anziehender bzw. abstoßender Brennpunkt des linearisierten Systems, so ist anziehender bzw. abstoßender Brennpunkt des ursprünglichen Systems.
Ist Zentrum des linearisierten Systems, so ist entweder Zentrum oder anziehender oder abstoßender Brennpunkt des ursprünglichen Systems.
Ist anziehender bzw. abstoßender Knoten des linearisierten Systems, so ist anziehender bzw. abstoßender Knoten des ursprünglichen Systems.
Ist anziehender bzw. abstoßender Sternknoten des linearisierten Systems, so ist anziehender bzw. abstoßender Knoten oder Brennpunkt des ursprünglichen Systems.
Ist Sattelpunkt des linearisierten Systems, so ist Sattelpunkt des ursprünglichen Systems.