L_p-Räume

Sei (OmegaSµ) ein Maßraum. Eine messbare Funktion f heißt dann p-fach integrierbar, wenn gilt:

int |f|^p dµ < infinity (p >= 1)

Die Menge L_p aller p-fach integrierbaren Funktionen bildet dann einen Vektorraum. Der Faktorraum L_p := L_p/~ (mit f~g <==> f=g µ-fast überall) ist dann ein normierter Vektorraum mit der Norm ||f||_{p} := (int |f|^p dµ)^{1/p}.


Eine Funktion f: I=[a,b] –> R heißt konvex, wenn gilt:

f(lambda * x + (1 - lambda) * y) <= lambda * f(x) +  (1 - lambda) * f(y)       forall lambda in [0,1], forall x in [a,b]

Erfüllt eine Funktion die umgekehrte Ungleichung, so nennt man sie konkav.

Die Ungleichung von Jensen besagt, dass für einen Wahrscheinlichkeitsraum (OmegaSP), eine integrierbare Funktion g und eine konvexe Funktion f: R –> R gilt:

f(int g dP) <= int f \circ g dP

Für konkaves f gilt die umgekehrte Ungleichung.

Die Ungleichung von Hölder besagt, dass für einen Maßraum (OmegaSµ), p,q in (1,infinity) \subseteq R mit 1/p + 1/q = 1 und f in L_p, g in L_q gilt:

f*g in L_1   und   int |f*g| dµ <= (int |f|^p dµ)^{1/p} * (int |g|^q dµ)^{1/q}

Die Ungleichung von Minkowski besagt, dass für f,g in L_p auch f+g in L_p gilt und außerdem:

||f+g||_p <= ||f||_p + ||g||_p

Ein Spezialfall der Hölder'schen Ungleichung (mit p=q=2) ist die Cauchy-Schwarz-Bunjakowski-Ungleichung:

int f*g dµ <= ||f||_2 * ||g||_2 < +infinity

Abschließend kann man feststellen, dass (L_p||.||_p) ein Banachraum ist, d.h. dass jede Cauchyfolge konvergiert.


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