Unendlichdimensionale Produkträume

Ist eine beliebige Indexmenge und ${ Omega_i | i in I }$ eine Familie von Mengen, so nennt man $\prod_{i in I} Omega_i = { f : I –> \bigcup Omega_i | f(i) in Omega_i }$ das Produkt der .
Sind nun (, ) lauter Messräume, so bildet das System

$L_i := { A × \prod_{i in E^C} Omega_i | E \subseteq I, |E| < infinity, A in \bigotimes_{i in E} S_i }$

eine Algebra auf $\prod_{i in I} Omega_i$ . Der durch diese Algebra erzeugt -Ring heißt Produkt der -Ringe und wird mit $\bigotimes_{i in I} S_i$ bezeichnet.

Mengen der Gestalt $A × \prod_{i in E^C} Omega_i$ (mit $A \subseteq \prod_{i in E} Omega_i, |E| < infinity$ ) nennt man Zylinder. Ist $A in \bigotimes_{i in E} S_i$ , so spricht man von messbaren Zylindern.
Ein Zylinder der Form $A × \prod_{i in E^C} Omega_i$ mit $A = \prod_{i in E} A_i$ wird Pfeiler genannt.
ist die Basis des Pfeilers bzw. Zylinders.

Das System der messbaren Pfeiler bildet auf $\prod_{i in I} Omega_i$ einen Semiring, dessen erzeugter -Ring mit $\bigotimes_{i in I} S_i$ übereinstimmt.

Ist (, , ) eine Familie von Wahrscheinlichkeitsräumen, so gibt es ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß auf ( $\prod_{i in I} Omega_i$ , $\bigotimes_{i in I} S_i$ ), sodass gilt:

$P ( \prod_{i in E} A_i × \prod_{i in E^C} Omega_i ) = \prod_{i in E} P_i(A_i)$

Der Existenzsatz von Kolmogorov besagt schließlich, dass für eine beliebige Indexmenge und eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen

${ P_E | E \subseteq I, |E| < infinity, P_E ist Wahrscheinlichkeitsverteilung auf (R^E, \bigotimes_E B) }$

mit der Verträglichkeitsbedingung

$E_1 \subseteq E_2: P_{E_1}(A) = P_{E_2}(A') mit A' = A × R^{E_2\E_1} forall A in \bigotimes_{E_1} B$

eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf (, $\bigotimes_I B$ ) existiert, sodass gilt:

$P ( A × \prod_{I\E} R ) = P_E(A) forall A in \bigotimes_E B, E \subseteq I, |E| < infinity$