Zweipopulationsmodelle

Zuerst betrachten wir folgenden Ansatz:

$\dot{x}_1 & = & x_1 * R_1(x_1,x_2) \\\dot{x}_2 & = & x_2 * R_2(x_1,x_2)$

Nehmen wir wieder linear in und an (und zwar fallend in ), so führt das auf die Gleichungen

$\dot{x}_1 & = & r_1 * x_1 * ( 1 - \frac{x_......eft( 1 + \frac{b_{21}x_1{K_1 - \frac{x_2{K_2 )$

Dieses System hat zumindest drei Gleichgewichtspunkte, nämlich , und . Gilt entweder $b_{12},b_{21} > -1$ und $b_{12}b_{21} < 1$ , oder ist $b_{12},b_{21} < -1$ , dann gibt es noch einen vierten Gleichgewichtspunkt $(\overline{x}_1,\overline{x}_2)$ mit

$\overline{x}_1 = \frac{K_1 * (1+b_{12})}{1 - b_{12}......rline{x}_2 = \frac{K_2 * (1+b_{21})}{1 - b_{12}b_{21}$

Eine Stabilitätsanalyse (zur Klassifikation von Gleichgewichtspunkten bei zweidimensionalen autonomen Differentialgleichungssystemen siehe Zusammenfassung zu Gewöhnliche Differentialgleichungen, Kapitel 5.3: "Phasenportraits zweidimensionaler autonomer Systeme in der Nähe stationärer Punkte") zeigt:

ist immer instabil
ist für $b_{12} < -1$ ein stabiler Knoten bzw. für $b_{12} > -1$ ein Sattel.
ist für $b_{21} < -1$ ein stabiler Knoten bzw. für $b_{21} > -1$ ein Sattel.
ist (sofern er existiert)
- für $b_{12}b_{21} < 0$ ein stabiler Knoten oder ein stabiler Strudel.
- für $b_{12}b_{21} in [0,1)$ ein stabiler Knoten.
- für $b_{12}b_{21} > 1$ ein Sattel.

Symbiose

Hier gilt $b_{12},b_{21} > 0$ .

Fall 1: $b_{12}b_{21} < 1$: In diesem Fall existiert der vierte Gleichgewichtspunkt und ist ein stabiler Knoten. Es liegt daher stabile Koexistenz vor.
Fall 2: $b_{12}b_{21} > 1$: In diesem Fall gibt es nur drei Gleichgewichtspunkte, und es kommt zum unbeschränkten Wachstum.

Räuber-Beute-Modell

Hier gilt $b_{12} > 0$ und $b_{21} < 0$ .

Fall 1: $b_{21} > -1$: In diesem Fall existiert der vierte Gleichgewichtspunkt und ist ein stabiler Knoten oder ein stabiler Strudel. Es liegt daher stabile Koexistenz vor.
Fall 2: $b_{21} < -1$: In diesem Fall gibt es nur drei Gleichgewichtspunkte, und die Beutepopulation stirbt aus.

Konkurrenz

Hier gilt $b_{12},b_{21} < 0$ .

Fall 1: $b_{12},b_{21} > -1$: In diesem Fall existiert der vierte Gleichgewichtspunkt und ist ein stabiler Knoten. Es liegt daher stabile Koexistenz vor.
Fall 2: $b_{12} > -1$ , $b_{21} < -1$: In diesem Fall gibt es nur drei Gleichgewichtspunkte, und die zweite Population stirbt aus.
Fall 3: $b_{12} < -1$ , $b_{21} > -1$: In diesem Fall gibt es nur drei Gleichgewichtspunkte, und die erste Population stirbt aus.
Fall 4: $b_{12},b_{21} < -1$: In diesem Fall existiert der vierte Gleichgewichtspunkt und ist ein Sattelpunkt. Je nach Startwert stirbt eine der beiden Populationen aus.

Räuber-Beute-Modell ohne innerspezifische Konkurrenz

Wie der Titel bereits vermuten lässt, wird hier davon ausgegangen, dass die Wachstumsrate nicht von abhängt, sondern nur von $x_{3-i}$ ( $i=1,\,2$ ). Das führt auf die Gleichungen

$\dot{x}_1 & = & r_1 * x_1 * ( -1 + \frac{x......& r_2 * x_2 * ( 1 - \frac{x_1{K_1 )$

Als Gleichgewichtspunkte erhält man den Sattelpunkt sowie den Wirbelpunkt . Dieser Gleichgewichtspunkt ist also stabil, aber nicht asymptotisch stabil. Es liegt daher stabile Koexistenz (allerdings oszillierend) vor.