Bernhard Kabelka - Numerische Mathematik I: "Fundamentals

Cholesky-Zerlegung

Eine Matrix $A in R^{n × n}$ heißt SPD-Matrix, wenn sie symmetrisch und positiv definit ist, d.h. es gilt und für alle $x in R^n\ \{0\}$ ist .

Ist $A in R^{n × n}$ eine SPD-Matrix, so existiert genau eine untere Dreiecksmatrix $U in R^{n × n}$ mit positiven Diagonaleinträgen $U_{11},\,U_{22},\,...,\,U_{nn} > 0$ , sodass gilt: . Diese Zerlegung nennt man Cholesky-Zerlegung.

Nützlich ist die Cholesky-Zerlegung beispielsweise bei der Gauß'schen Normalengleichung . Bestimmt man nämlich eine Cholesky-Zerlegung von , was entweder über die QR-Zerlegung von - sogar ohne explizite Berechnung von - oder mittels eines Algorithmus (siehe Anhang B.3) möglich ist, so kann man durch zweimaliges Lösen eines gestaffelten Gleichungssystems bestimmen.