Bernhard Kabelka - Numerische Mathematik I: "Traditionelle Lösung von Ax = b

Pivotisierung

Wie bereits erwähnt, ist der "naive" Gauß-Algorithmus nicht durchführbar, wenn für ein $k in \{1,\,2,\,...,\,n-1\}$ gilt: $A_{kk}^{(k)} = 0$ .

Um diese Schwäche zu reparieren, bedient man sich der Pivotisierung, d.h. man führt vor dem -ten Eliminationsschritt eine geeignete Zeilen- bzw. Spaltenvertauschung durch:

Bei der Spaltenpivotsuche (siehe Anhang C.2) beschränkt man sich auf Zeilenvertauschungen (die eine Umnummerierung der Gleichungen repräsentieren), indem man die -te Zeile durch jene Zeile ersetzt, für die gilt:
$| A_{p_kk}^{(k)}| = \max_{j=k}^n | A_{jk}^{(k)}|$
Bei der Totalpivotsuche (siehe Anhang C.3) führt man in jedem Schritt sowohl eine Zeilen- als auch eine Spaltenvertauschung durch, indem man die -te Zeile mit der -ten Zeile und die -te Spalte mit der -ten Spalte vertauscht, wobei gelten soll:
$| A_{lm}^{(k)}| = \max_{lambda,µ=k}^n | A_{lambdaµ}^{(k)}|$