IMO 1999

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Wettbewerb

1. Tag, 16. Juli 1999

  1. Man bestimme alle endlichen Mengen S von mindestens 3 Punkten in der Ebene, die die folgende Bedingung erfüllen:
    Für je zwei verschiedene Punkte A und B aus S ist die Mittelsenkrechte der Strecke AB eine Symmetrieachse von S.
  2. Es sei n eine gegebene ganze Zahl mit n >= 2.
    1. Man bestimme die kleinste Konstante C, so dass die Ungleichung

      sum_{1 <= i < j <= n} x_i*x_j*(x_i^2+x_j^2) <= C * ( sum_{i=1}^{n} x_i )^4

      für alle reellen Zahlen x1, x2, ... x_n >= 0 gilt!
    2. Wann gilt für diese Konstante C Gleichheit?
  3. Man betrachte eine quadratische n × n Tafel, wobei n eine gerade positive ganze Zahl ist. Die Tafel besteht aus n^2 Einheitsquadraten. Wir nennen zwei verschiedene Einheitsquadrate der Tafel benachbart, wenn sie eine gemeinsame Seite haben. N Einheitsquadrate werden in der Weise markiert, dass jedes Quadrat der Tafel (markiert oder nicht markiert) zu mindestens einem markierten Quadrat benachbart ist.
    Man bestimme den kleinst möglichen Wert von N !

Arbeitszeit: 4½ Stunden.
Bei jeder Aufgabe können 7 Punkte erreicht werden.

2. Tag, 17. Juli 1999

  1. Man bestimme alle Paare (n,p) positiver ganzer Zahlen, so dass
    • n eine Primzahl ist,
    • n <= 2p     und
    • (p-1)^n + 1 durch n^{p-1}) teilbar ist!
  2. Zwei Kreise Gamma1 und Gamma2 liegen innerhalb des Kreises Gamma und berühren Gamma in den verschiedenen Punkten M bzw. N. Gamma1 geht durch den Mittelpunkt von Gamma2. Die Gerade durch die zwei Schnittpunkte von Gamma1 mit Gamma2 schneidet Gamma in A und B. Die Geraden MA und MB schneiden Gamma1 in C bzw. D.
    Man beweise, dass CD Tangente an Gamma2 ist!
  3. Man bestimme alle Funktionen f: R –> R, so dass

    f(x-f(y)) = f(f(y)) + x . f(y) + f(y) - 1

    für alle x,y in R gilt!

Arbeitszeit: 4½ Stunden.
Bei jeder Aufgabe können 7 Punkte erreicht werden.