ÖPMW 1998

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Einzelwettbewerb

1. Tag, 29. Juni 1998

  1. Es seien x1, x2, y1, y2 relle Zahlen mit x1^2 + x2^2 <= 1.
    Man beweise die Ungleichung
    (x1*y1 + x2*y2 - 1)^2 >= (x1^2 + x2^2 - 1)*(y1^2 + y2^2 - 1)
  2. Wir betrachten n Punkte P_1, P_2, ..., P_n, die in dieser Reihenfolge auf einer Geraden liegen.
    Wir färben jeden dieser n Punkte mit einer der folgenden Farben: Weiß, Rot, Grün, Blau und Violett.
    Eine Färbung heißt zulässig, wenn je zwei benachbarte Punkte P_i, P_{i+1} die gleiche Farbe haben, oder mindestens einer von ihnen weiß ist.
    Wie viele zulässige Färbungen gibt es?
  3. Man bestimme alle Paare (x,y) reeller Zahlen, welche das folgende Gleichungssystem erfüllen.
    2 - x^3 = y ; 2 - y^3 = x

Arbeitszeit: 4,5 Stunden.
Bei jeder Aufgabe können 8 Punkte erreicht werden.

2. Tag, 30. Juni 1998

  1. Seien m, n gegebene, positive ganze Zahlen.
    Es sei S_m(n) = sum_{k=1}^{n} [k^(m/k^2)]
    (x_int ist die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x.)
    Man zeige: S_m(n) <= n + m*(2^(m/4) - 1)
  2. Man bestimme alle Paare (a,b) positiver ganzer Zahlen, sodaß die Gleichung
    x^3 - 17*x^2 + a*x - b^2 = 0
    drei (nicht notwendigerweise verschiedene,) ganzzahlige Lösungen hat.
  3. Die verschiedenen Punkte A, B, C, D, E, F liegen in dieser Reihenfolge auf dem Kreis k. Die Tangenten an den Kreis k in A und D sowie die Geraden BF und CE schneiden einander im Punkt P.
    Man zeige: Die Geraden AD, BC und EF sind parallel oder schneiden einander in einem gemeinsamen Punkt.

Arbeitszeit: 4,5 Stunden.
Bei jeder Aufgabe können 8 Punkte erreicht werden.

Lösungen und Lösungsskizzen

Leider bin ich weder im Besitz einer "offiziellen" Lösung der Beispiele noch meiner eigenen Lösung, die ich im Rahmen des Wettbewerbes selbst erarbeitet habe. Einige Beispiele habe ich nun nachträglich (nochmals) gelöst, und kann hier (hoffentlich richtige) Lösungen präsentieren. Bei manchen Beispielen hatte ich bis jetzt jedoch noch keine zielführende Idee und bin über Lösungsvorschläge (am besten per eMail an oepmw98_may12.olympiad.bkabelka@spamgourmet.com) sehr dankbar: