Mannschaftswettbewerb
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Wir betrachten die Paare
natürlicher Zahlen, sodaß das Produkt 
in Dezimalschreibweise auf genau 98 Nullen endet. Man bestimme ein Paar mit dieser Eigenschaft, für das 
minimal ist.
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Sei
eine gegebene, natürliche Zahl. Wir betrachten ein Quadratgitter in der Ebene. In jedem Einheitsquadrat des Gitters ist eine natürliche Zahl eingetragen.
Polygone mit dem Flächeninhalt
, deren Seiten in den Geraden liegen, die das Gitter bilden, heißen zulässige Polygone. Der Wert eines zulässigen Polygons ist die Summe der Zahlen, die in den im Polygon enthaltenen Quadraten eingetragen sind.
Man zeige: Haben je zwei kongruente, zulässige Polygone denselben Wert, so sind alle im Gitter eingetragenen Zahlen gleich.
Achtung: Wir erinnern daran, dass das Spiegelbild
eines Polygons 
zu kongruent ist.
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Seien
die Mittelpunkte der Seiten 
des Dreiecks 
. Die Punkte 
zerlegen den Umkreis des Dreiecks in die drei Bögen 
, 
, 
. Sei 
der Punkt auf dem Bogen , sodass 
. Analog sei 
der Punkt auf dem Bogen 
, sodass 
und 
der Punkt auf dem Bogen , sodass 
. Seien 
der Umkreisradius und 
der Inkreisradius des Dreiecks .
Man zeige:
.
Arbeitszeit: 4 Stunden.
Bei jeder Aufgabe können 8 Punkte erreicht werden.
Lösungen und Lösungsskizzen
Leider bin ich weder im Besitz einer "offiziellen" Lösung der Beispiele noch meiner eigenen Lösung, die ich im Rahmen des Wettbewerbes selbst erarbeitet habe. Einige Beispiele habe ich nun nachträglich (nochmals) gelöst, und kann hier (hoffentlich richtige) Lösungen präsentieren. Bei manchen Beispielen hatte ich bis jetzt jedoch noch keine zielführende Idee und bin über Lösungsvorschläge (am besten per eMail an oepmw98_may12.olympiad.bkabelka@spamgourmet.com) sehr dankbar:
- Beispiel 7: Lösung
- Beispiel 8: Teillösung
- Beispiel 9: Skizze
