Mathematik

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Der zentrale Begriff in der Analysis ist der Grenzwert – es geht also unter anderem um (die Konvergenz von) Folgen und Reihen, sowie um die Differential- und Integralrechnung. Beim Mathematikstudium an der TU Wien werden diese Grundlagen in den drei Vorlesungen "Analysis I – III" während der ersten drei Semester behandelt:

Die Aufteilung auf die einzelnen Vorlesungen ist je nach Professor leicht unterschiedlich, die obige Auflistung orientiert sich mehr oder weniger an der Reihenfolge, die für mich relevant war ("Analysis I" bei Prof. Schnabl, "Analysis II" und "Analysis III" bei Prof. Mlitz).

Darüber hinaus gibt es aber noch weitere Teilgebiete, die auch zur Analysis gehören, wie zum Beispiel die Lebesgue'sche Maß- und Integrationstheorie, die in der Vorlesung "Maßtheorie" behandelt wird. Es geht dabei um Maße – das sind Funktionen, die bestimmten Mengen ein (positives) "Maß" (d.h. eine Länge, eine Fläche, ein Volumen, etc.) zuordnen, wobei zusätzlich noch das Maß der Vereinigung höchstens abzählbar vieler Mengen gleich der Summe der Maße der Einzelmengen sein soll – und um (mit Hilfe solcher Maße definierte) Integrale. Man erhält so einen etwas allgemeineren Integralbegriff als bei den Riemann-Integralen.

Weiters befasst sich die Analysis mit Differentialgleichungen, das sind Gleichungen, die eine Bezeihung zwischen den gesuchten Funktionen und deren Ableitung herstellen. Hierbei geht es dann vor allem um die Bestimmung der Funktionen aus den Gleichungen (was nur in manchen Fällen möglich ist) bzw. um die Ermittlung des "ungefähren" Verhaltens dieser Funktionen (Periodizität, Beschränktheit, etc.).

Auch das Stoffgebiet der Funktionalanalysis ist Teil der Analysis: Die Basis bildet die Topologie; davon ausgehend werden die grundlegenden Eigenschaften von metrischen Räumen, Banachräumen und Hilberträumen (samt wichtiger zugehöriger Sätze, wie zum Beispiel der Satz von Hahn-Banach oder der Riesz'sche Darstellungssatz) behandelt. Darüber hinaus geht es unter anderem um die Spektraltheorie linearer Operatoren.

Schließlich gehört auch die komplexe Analysis zu diesem Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit komplexwertigen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, wobei die dort gewonnen Resultate oft auch zum Lösen von Problemen im Reellen verwendet werden können, zum Beispiel bei der Berechnung von bestimmten Integralen.